“121”三段四环导学课堂教学模式的课型研究

2018-07-28 10:42翟彩云张勇陈武钊
新课程·中学 2018年4期
关键词:增函数定义域图象

翟彩云 张勇 陈武钊

概念教学是数学教学中不可缺少的重要组成部分。概念教学是一个“重新建构”过程,是一个“意义赋予”过程。“121”三段四环导学课堂教学模式中概念课的教学过程可概括为下图:

案例:函数的单调性(第一课时)

函数的单调性是函数的重要性质。其中增函数、减函数的概念是形式化定义,较为抽象,学生不易理解,可采用概念形成的教学方式。

一、概念的引入(约10分钟)

(一)重现已有知识

师:在初中我们已经学习过一次函数、二次函数、反比例函数的图象和性质。现在请同学们观察下列函数的图象,并说明函数值y随x的增大而怎样变化?

(1)y=2x+1 (2)y=-x+1 (3)y=x2 (4)y=

学生可能有以下回答:

(1)函数y=2x+1在定义域内y随x的增大而增大。

(2)函数y=-x+1在定义域内y随x的增大而减小。

(3)函数y=x2在[0,+∞)上y随x的增大而增大,在(-∞,0]上y随x的增大而减小。

(4)函数y=在(0,+∞)和(-∞,0)上y都随x的增大而减少。

(设计意图:观察具体函数图象特征,注重直观感知)

师:这些例子都反映了自变量变化时函数值也会发生改变,有的变大,有的变小,这是函数的一个重要性质,称为函数的单调性。同学们在初中对函数的这种性质虽然有所了解,但是没有严格的定义,今天我们的学习任务就是建立函数单调性的严格定义。

(二)引入新的概念

问题1:你能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

学生可能回答:如果函数f(x)在某个区间随自变量x的增大,y也越来越大,我们说函数f(x)在该区间上为增函数;如果函数f(x)在某个区间随自变量x的增大,y反而越来越小,我们说函数f(x)在该区间上为减函数。

师:这种认识从图象的直观性很容易得到,即是从“形”的角度对函数单调性的直观性认识。

(设计意图:从图象直观感知函数单调性,完成对函数单调性的感性认识。)

问题2:如何从“数”的角度,对“函数值y随x的增大而增大(或减少)的特征”给予具体的定量刻画呢?以y=x2在[0,+∞)上是增函数为例,你能列举一些数据予以说明吗?

学生可能回答:当x=0时,y=0;当x=1时,y=1;当x=2时,

y=4……

问题3:这样的数据能列举完吗?你能用准确的数学符号语言表达出增函数的定义吗?

学生回答:不能。

老师:为什么不能呢?

逐步启发学生找到问题的根源:自变量不可能被穷举,从而逐步回答出:对任意的两个自变量x1,x2∈[0,+∞),x1

(设计意图:引导学生思考讨论,把对单调性的认识由感性认识上升到理性认识的高度。事实上也给出了证明单调性的方法,为典例1的学习做好铺垫。)

(三)形成概念定义

(教师用投影展示)一般地,设函数f(x)的定义域为I:

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,当x1

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在区间D是减函数。区间D为y=f(x)的单调减区间。(图3)

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。

二、概念的理解(约20分钟)

(一)探究概念等价变换

师:由不等式性质知:若ab则a-b>0,反之亦然。要比较f(x1)与f(x2)的大小,只要观察f(x1)-f(x2)<0?或f(x1)-f(x2)>0?因此,单调性的定义你能作出怎样的等价变换呢?

学生:对任意的两个变量x1,x2∈I,x1

学生:对任意的两个变量x1,x2∈I,x10,则称函数f(x)在区间I单调递减。

(二)概念理解的变式练习

师:分别指出各函数(1)y=2x+1;(2)y=-x+1;(3)y=x2;(4)y=的单调区间。

学生可能回答:(1)函数y=2x+1只有增区间(-∞,+∞);(2)函数y=-x+1只有减区间(-∞,+∞);(3)函数y=x2的增区间是[0,+∞),减区间是(-∞,0];(4)函数y=的减区间为(-∞,0)和(0,+∞)。

问题4:能把函数y=的减区间(-∞,0)和(0,+∞)改写成

(-∞,0)∪(0,+∞)吗?

一些学生回答可以,一些学生回答不可以。

师:请认为不可以的同学说说理由。

学生甲:-1,2∈(-∞,0)∪(0,∞),并且-1<2,应该是f(-1)>

f(2),这与事实f(-1)

师:甲同学说对了。一个函数同时有两个或以上的增(或减)区间要用“,”或“和”分开,不能用“∪”把各个单调区间连接起来,这是求函数的单调区间中最常见、最典型的錯误,请同学务必注意。

(设计意图:规范表达,防止典型错误的发生)

问题5:请回答下面几个思考题

①已知f(x)=,因为f(-1)

②若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数,对吗?

③因为函数f(x)=在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数,所以f(x)=在定义域上是减函数,对吗?

学生可能回答:都不对。

师:通过以上几个小题的讨论交流,我们得出以下结论:

①单调性定义中的x1,x2是区间内任意两个值,而不是特殊的两个值。

②单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性,单调性是函数的局部性质。

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在A∪B上是增(或减)函数。

(设计意图:让学生由特殊到一般,从具体到抽象归纳出单调性的定义,通过几个思考题的辨析,加深学生对定义的理解)

(三)典例合作探究(交流研讨、展示点评、点拨整理)

例1.证明函数f(x)=x+在(1,+∞)上是增函数。

1.分析解决问题

针对学生可能出现的问题,组织学生讨论、交流、展示、点评、质疑。

证明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1

∴函数f(x)=x+在(1,+∞)上是增函数。 下结论

2.归纳解题步骤

引导学生归纳证明函数单调性的步骤:取值、作差、变形、判断符号、下结论。

(设计意图:初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤)

三、概念的运用(约10分钟)

1.证明函数f(x)=x2+1在[0,+∞)上是增函数。

2.对任意的两个变量x1,x2∈I,x11,能判断函数f(x)在区间上是增函数吗?

(设计意图:通过练习1,巩固学习效果,练习2拓展学生思维)

四、总结提高

学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程中的体验和感受,师生共同完成小结。

(一)小结

(1)探究得到函数单调性的概念。

(2)单调性的证明方法和步骤:取值、作差、变形、判断符号、下结论。

(3)数学思想方法:数形结合。

(二)作业

书面作业:课本第39页,习题1.3,第1,2,3题。

选做作业:讨论函数y=x+(x>0)的单调性。

五、案例点评

函数的单调性是函数的重要且基本的性质。函数的单调性从图象角度来看,清楚、直观,容易理解,但是用抽象的数学符号语言来刻画,即当x1,x2∈I,x1f(x2),则f(x)在区间I上是减函数,对刚进高一的学生来说,就显得比较抽象。本案例针对函数单调性概念的形式化定义这一难点,教师通过学生初中已接触过的基本初等函数:一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质,引入课题,为新概念的学习创设情境,一定程度上达到承上启下的效果,为提高课堂效率打下良好基础。从已经掌握的一些简单函数的图象入手,让学生在问题情境中认识从“形”的直观性过渡到从“数”的角度上对函数单调性的特征进行辨析。在形成概念的过程中,紧扣概念中的关键语句,通过概念的变式思考、概念理解的变式练习、典例“证明函数f(x)=x+在(1,+∞)上是增函数”的分析加深学生对单调性这个概念的理解,突破了如何用定义进行解题这一难点,并指出学生做题中最典型并且最常见的一个错误(一个函数同时有两个或以上的增〈或减〉区间要用“,”或“和”分开,不能用“∪”把各个单调区间连接起来),教师板书了规范的解答过程,师生一起总结解题的步骤。最后,通过概念的运用环节,让学生学以致用。通過解决:对任意的两个变量x1,x2∈I,x11,能判断函数f(x)在区间I上是增函数吗?达到拓展提升的目的。整节课学生都能主动参与课堂,顺利形成准确概念,使“单调性”顺利融入学生的知识体系。

参考文献:

[1]肖凌戆.高中数学“优效教学”的理论与实践[M].陕西师范大学出版社,2015.

[2]葛永.提高数学试卷评讲有效性的探索[J].高中数学教与学,2012(12):1-3.

[3]穆镇海.如何引导学生积极参与数学学习过程[J].中学数学教与学,2015(4):5-8.

注:广州市教育科学“十二五”规划2014年度课题《“121”三段四环导学课堂教学模式的构建与实践》(1201442114)。

编辑 赵飞飞

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