世事洞明皆学问，人情达练即文章
—— 期刊阅读与写作的几个关注点

☉安徽省灵璧第一中学 郑 良

英国作家伯特兰·罗素在著作《教育和美好的生活》中说：“没有科学，爱是无力的；没有爱，科学是破坏性的.”“凡是教师缺乏爱的地方，无论是品格还是智慧都不能充分地或自由地发展.”数学教学的最终目标是学习者会用数学的眼光观察现实世界（抽象），会用数学的思维思考现实世界（推理），会用数学的语言表达现实世界（模型）.笔者自知愚笨，坚持梳理教学收获的点点滴滴，诉之于笔端，偶有所得.承蒙年轻同行信任，共同研讨写作乃至专业成长的话题.期刊文章是作者教研成果的体现，代表着相关内容的较高水平.写作的过程是累积、沉淀、思考、输出的过程，是对数学综合认识的总结与提炼.“读书破万卷，下笔如有神”，阅读是一个积极主动的思考、理解和接受信息的过程.通过阅读专业期刊可以及时学习课程改革理念、了解教学研究和实践发展最新动态、交流教学认识、积累教学素材、完善认知、开拓视野、提升文采等，实现专业发展.专业阅读不仅使我们找到了信息源，更为我们提供了专业写作的方式与方法.

阅读与写作不仅让笔者增加知识，解决疑难问题，强化对话意识，更引领笔者懂得换位思考，学会包容与欣赏.目前，少量文章针对专业阅读状况（阅读率、阅读者心理）进行了调查研究，而对专业阅读的关注点的研究则较为少见.笔者不揣浅陋，以《中学数学》（高中版）2017年第12期为例，给出读刊随笔，谈谈对数学期刊阅读的几个关注点，与大家商讨.

一、未知领域，由点到面，重新聚焦

一般的高中学校教科研氛围不浓，应试压力大，导致中学一线教师课业繁重，没有多少机会接触先进的教育教学理论.尽管中学教师教学经验丰富，但其处理的往往是具体的数学问题，对于相对抽象枯燥的教学理论，往往难以做到平心静气的消化与吸收.数学期刊中的理论指导教学的文章能理论联系实际，观点高屋建瓴，分析鞭辟入里，叙述行云流水，将理念和理论巧妙融合于案例中，内化于无形，给人以美的享受.每个人的不同经历决定了其掌握的资源是有限的.通过阅读会遇到一些以前未曾接触过的事物（教学理论、教学实践、陌生的试题等），这时我们可先精读文章，实现从无到有，然后（尽可能阅读系统的专业书籍）阅读相关的实证文章与综述文献，实现由点到面的扩张，达成对新内容的理解，最后再重新聚焦问题，结合自己的教学实际进行理性分析，判断是否适合（或以怎样的方式）运用于教学.如文1中探析“平面向量”概念的教材呈现的基础为“认知负荷”理论，读者可查阅该理论的提出、发展、完善等发展历程，提升对相关内容的理解.又如，在设计新课的情境引入时，不同的教师会有不同的选择，读者可对案例中涉及的新情境进行全面考量，辩证分析其优缺点，实现认识的自我提升.

二、相同问题，质疑比对，完善提高

自然界的生存法则告诉我们：“不进即是倒退，停滞等于灭亡.你必须不停地奔跑，才能停在原地.”阿尔温·托夫勒对于电子信息时代的到来有如下的小结：“微电子技术出现之前，相对地讲，社会的变化是缓慢的，人们只能从有限的形象中构造现实模式，他们对世界的理解来自教师、家庭，他们的知识大部分来自直接经验和书本上的语言形象.”［2］知识的爆炸式增长让课堂不再是知识灌输的场所，它要求教师必须对相对稳定的中学数学内容赋予更多的内涵.本质相同的问题，形式不断演变，内涵日益丰富，倘若教师不能对知识进行更新换代，势必被时代淘汰.相比之下，期刊能及时关注前沿信息、聚焦热点，占领制高点，对问题发展与解决具有前瞻性，引领着教育教学发展的方向.

1.注重解题分析，思维自然流淌

阅读文章时，建议读者先发散思维，独立解决，然后再看问题的分析、解析与点评，这样才不会被作者牵着鼻子走.问题的分析是作者思维过程的展示，解析是解题过程的规范表达，点评往往是观点的浓缩与提升，它促进读者的深思和重新以审视的目光进行再阅读.“小疑则小进，大疑则大进”.阅读时要积极思考与主动对话，敢于质疑，在读文章的同时更要读懂自己.笔者有“不动笔不读书”的学习习惯，苦思冥想尝试还原文章的情境现场，对比自己教学时的想法与做法，比较优缺，探寻得失.

例1 （文3例5）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是______.

文中给出的解析为：因为|2x+y-4|+|6-x-3y|≥|（2x+y-4）-（6-x-3y）|=|3x+4y-10|，x2+y2≤1，所以|3x+4y-10|=-（3x+4y）+10.构造平面向量α=（3，4），β=（x，y）……本题求解目标为“|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值”，由于解题过程中出现了不等式“转向”（先缩小再放大），与“不等式的传递性”矛盾，故推证过程中出现了逻辑错误，推证结果无效，这是不等式的求解与证明过程中常见的错误.因为x，y的有界性，绝对值三角不等式中的取等条件成立，最终答案是正确的.（含绝对值个数较少的）绝对值不等式的常见处理方式是去掉绝对值，只需将叙述略加调整：因为x2+y2≤1，所以|2x+y-4|+|6-x-3y|=-（3x+4y）+10，具体用线性规划、三角换元法、构造向量法、柯西不等式等则是技术上的问题.

2.变换设问方式，构建知识网络

由于通性通法能处理一类问题，揭示出该类问题思想方法的本质，故“强化通性通法，淡化特殊技巧”是教学的基本要求.教学要立足通性通法，构建知识网络，引导学生在熟练操作后反思问题的模型，比较各具体问题与模型之间的差异，寻找更加灵活的解决方案.根深才能枝叶茂盛，否则学生可能被繁杂的现象掩盖本质，无法跳出圈子看问题.平时多下功夫完善认知结构，考试时才能进退自如，游刃有余.

文4抓住了运动过程中的“某种”特殊状态，结合选项用极限策略一招制胜.本题若改为解答题（并非所有客观题都适合作为解答题），完整的解答又当如何呢？

3.挖掘问题特性，突出因地制宜

若在教学中无视问题特性，固守通性通法往往会使学生思维僵化，将鲜活的数学解题教学沦为机械的解题训练，学生在呆板的解法中逐步丧失对数学的兴趣.反之，若能强化“特殊——一般——特殊”的审题过程，在落实通性通法的同时关注问题的特性，针对具体的问题给出不同的解法，不仅能培养学生的阅读分析能力，提高学生观察的敏锐性、思维的敏捷性，还能发散学生思维，提升学生的审美素养.作者为了突出主题，无需（也没必要）面面俱到，读者对此的思考必不可少.

例3（文5“题目”）已知由整数组成的数列{an}各项均不为0，其前n项和为Sn，且a1=a，2Sn=anan+1.

（1）求a2的值；

（2）求{an}的通项公式；

（3）若n=15时，Sn取得最小值，求a的值.

利用公式法可得数列 {a2k-1}，{a2k}分别是以a，2为首项，2为公差的等差数列.文5认为“学生易给出错误答案：根源，给出针对性的指导并进行补偿教学是必要的.现象表明学生没有弄清an与n（或k）的对应关系，无法从数列公式的形式化中揭示出问题的本质，没有领悟等差（比）数列通项公式的推导过程（归纳法、累加（乘）法、迭代法）的真谛.下面给出两种解法：

解法1：当n为奇数时，记n=2k-1，则an=a2k-1=a1+2（k-1）=a-1+n；当n为偶数时，记n=2k，则an=a2k=a2+2（k-1）=n.

解法2：构造以a为首项，1为公差的等差数列{cn}，则cn=a+n-1，则当n为奇数时，an=cn=a+n-1；构造第二项为2，1为公差的等差数列{dn}，则dn=2+（n-2）×1=n，则当n为偶数时，an=dn=n.

由于{a2k-1}（{a2k}）在数列{an}中有规律的跳跃，故尝试构造“标准”的等差数列.解法1为相关点法，建立an与bk（以n为奇数为例，an=a2k-1=bk）的一一对应关系，通过等差数列通项公式求出规则数列{bk}的通项公式bk=g（k），继而利用n与k的关系消去k得到an=f（n）.解法2将数列{a2k-1}（{a2k}）相邻项的差（常数）对该两项在原数列{an}中的“项数间距”进行平均（标准化），即将按n分类的数列{an}嵌入到（标准化）的等差数列中，通过“割补法”实现数列{an}的化归与转化.

文5通过分组求和法求出数列{an}的前n项和Sn.下面再给出两种解法：

解法1为并项求和法，当n为偶数时，将Sn视为以a+2为首项，4为公差的等差数列的前项和；当n为奇数时，利用偶数时的结论求解，还可写成Sn=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（an-1+an）；解法2充分利用题设中Sn与项an，an+1的关系，从“半成品”入手，避免了“从头再来”.

又如：对于任意实数x∈［1，5］，|x2+px+q|≤2，不超过的最大整数是______.

记（fx）=x2+px+q，则-2≤（fx）≤2在区间［1，5］上恒成立.若按对称轴与区间的关系对p分四种情况讨论则陷入了计算的海洋，若抓住函数f（x）在长度为4的区间上的最大值与最小值的差不超过4的特性，则锁定函数f（x），事半功倍.

4.强化追根溯源，揭示问题本质

随着学习内容的增加，解题经验的丰富，思维能力的提高，学生的思维脉络理应越来越清晰.而教学现实则是学生记得越多，混淆越快，学得越多，思路越乱.学生不可谓不努力，教师不能说不辛苦，但教与学方向有失偏颇，教师抛授结论而没有完全暴露思维过程和揭示问题本源，学生试图用解题操作中获得的感性经验来代替理性分析与总结，致使学生“只见树木不见森林”“知其然不知其所以然”.理解上的有形无实导致学生只能用操作的熟练程度来弥补认识高度与深度方面的不足，此乃无奈之法，绝非明智之举.

文6根据椭圆的第二定义将问题转化为椭圆上一点到椭圆内定点和（与焦点相对应的）准线的距离之和的最小值问题，其原理为点到直线的距离的定义.这类问0）上一点，A（x0，y0）为椭圆C内一定点，F为其右焦点.

（2）求|PA|+|PF|的取值范围.

其中第（2）问需要利用椭圆的第一定义来求解.

例5 （文6例6）已知点M在圆C：（x-4）2+（y-4）2=8上运动，A（6，-1），O为原点，求（|MO|+2|MA|）min.

问题关键点在于“|MO|=2|MB|”，思维过程如下：先尝试寻找定点D满足“2|MA|=|MD|”，利用“|MO|+2|MA|=|MO|+|MD|”转化为“圆C上任意一点M到两个定点O，D的距离之和最小值”问题，遗憾的是符合题意的点D不存在；再尝试从“|MO|”中析出常数2，从而得到上述解答.该问题的背景为“阿波罗尼斯圆”（俗称“圆的第二定义”），若不用以上解法（待定系数法），还可从角平分线切入：连接OC，线段OC交圆C于点E，其延长线交圆C于点F，则E（F）分别为∠OMB的内（外）角平分线与直线OC的交点，由|OE|=2|EB|（|OF|=2|FB|），利用定比分点公式可求出定点B的坐标.

例4与例5外表相同，处理方式不同，本质为曲线上的动点到两个定曲线（点、线、面等）的距离之和最小问题，其代数形式为闭区间上连续函数的零点定理.变式题还有文7的例2：已知P是直线l：3x-4y+11=0上动点，PA，PB是圆C：x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A，B为切点，那么四边形PACB面积的最小值为______.将问题进行归类，审视该类题演变的历程，应用于教学，让学生拾级而上，渐入佳境，同时也为自己命制试题提供了样例.又如点P（x0，y0）为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.第（2）问的背景为蒙日圆.

5.推敲遣词造句，表达通俗易懂

作为专业阅读，读者更喜欢内容新颖、信息量大、质量上乘与品味高雅的期刊.“有一千个读者就有一千个哈姆雷特”，任何文章的语言都需要字斟句酌、准确流畅，保证其科学性.若文章表达生硬，抽象晦涩，味同嚼蜡，则会使读者敬而远之，失去了交流与传播的本性；反之，若文章行云流水，言简意赅，语言优美，内容深入浅出，明确清楚的观点更易于被读者理解并接受，轻松活泼充满趣味性的表达让场景如诗如画，阅读文章就是鉴赏艺术.笔者阅读期刊时，往往采取精读的方式对文章进行研读，逐字逐句地推敲钻研，力争做到透彻理解.而对自己发表的文章，反复将原稿与（编辑加工的）刊登稿反复比对，领悟提升.

例6 （文9例1）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）.

A.16 B.14 C.12 D.10

文9中的解法2“直线l1，l2互相垂直，l1与C交于A、B两点，l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B与E关于x轴对称，设DE的斜率为1，直线l2的方程为y=x-1……”由对称性能得到该结论吗？这个结论是否具有一等号成立.

由对称性及坐标变换知，用标准方程表示的抛物线焦点在x轴的负半轴或y轴上时，通过计算可知其结论也是成立的，但此说法仍然显得唐突，不合规范.

教师的本职工作在于教学，教而不研则浅，研而不教则空.教学、阅读、写作三位一体.作为课堂教学的教师，我们能更加准确地把握学情、深化对学生的理解、给予学生更多的尊重；作为期刊的读者（学习者，即学生），我们更了解学生的需求，学会聆听与交流、对作者与期刊少一分抱怨与旁观、多一份理解与支持；作为文章的作者，只有理解读者需求、写作时才能想别人所想，急别人所急.己所不欲，勿施于人.我们要切实关注自己真实的感触，深化认知，有感而发，成果才会引起别人的共鸣，才能经受得起时间的考验.