利用数学实验研究同底指数函数和对数函数的图像位置关系

☉湖北省武汉中学 刘志江☉湖北大学附属中学 李 俊

在教学中适度有效地开展数学实验，不仅能使学生掌握必要的数学知识，更重要的是有助于提高他们的积极性，培养他们乐于思考探索的品质，有利于提高他们动手操作及分析问题、解决问题的能力，是一种在新课程教学中值得借鉴的教学方法.以下介绍一次开展数学实验的教学过程.

在学习对数函数时，类比同底的指数函数，根据对数函数的图像得到对数函数的性质是教学中的一个重要环节，笔者用卡西欧fx-CG20图形计算器开展数学实验，让学生动手、用心、入脑，并起到了事半功倍的效果.

我们的学生接触图形计算器时间不长，但同学们对新生事物天生有强烈的好奇心，在实验的开始，在他们不断摸索操作图形计算器时，我给出了一些参考操作步骤，以下简述操作过程（文字说明后的括号内是相应的顺序按钮操作）.

1.开机（ AC/ON ）.

2.切换到动态函数模式（ MENU6）（图1）.

3.输入函数y=A（x▶ALPHA x，θ，T∧x，θ，T EXE）（图2?）.?

图1

图2

图3

图4

5.设置变量A的初始值为0.1（ F40 1EXE）（图4）.

6.设置变量A的开始值为0.1（ F20 1EXE）.

7.设置变量A的终止值为1.9（ 1 9EXE）.

8.设置变量A的变化步长为0.2（ 0 2EXE）（图5）.

图5

图6

9.返回到上一页面（ EXIT）.

10.设定动态速度为单步执行（ F3 F1）（图6）.

11.返回到上一页面并进入查看窗设置页面（EXIT SHIFT F3 ）（图7）.

图7

图8

12.设定查看窗为初始窗并返回到上一页面（F1 EXIT）.

13.进入动态图模式（ F6）.

14.改变A的值，显示函数y=Ax与y=logAx的动态图（◀或▶）（图8）.

同学们对图形计算器的功能和作用产生了浓厚的兴趣，部分同学通过研究后建议在上述图中一并作出y=x的图像，这样可以更好地体现互为反函数的图像对称性，于是有了如下的图像（图9）.

图9

图10

通过变化A的值，感受A的变化对图像的影响（图11）.

图11

由此，同学们从动态图中得到了同底指数函数与对数函数的相关性质：定义域、值域、单调性等，甚至不同底的对数函数在区间（0，1）和（1，+∞）上的比较也一目了然.可见，图形计算器作为辅助教学工具在教学中起到了非常好的效果，同学们在探究过程中对图形计算器的操作也相当熟练了.

让人惊喜的是，居然有同学提出关于同底指数函数与对数函数图像的交点个数问题，实现了“问题从学生中来，到学生中去”的良性循环.

在了解了图形计算器的操作基础上，绝大部分同学得到了y=Ax与y=logAx图像交点个数的结论：

1.当A大于某一介于1.4和1.5之间的数（以下记这个数为M）时，两函数图像没有交点（图12、13）；

图12

图13

2.当A等于M时，两函数图像有一个交点（图14、15）；

图14

图15

3.当A在（1，M）上变化时，两函数图像有两个交点（图16、17）；

图16

图17

4.当在（0，1）上变化时，两函数图像有一个交点（图18）.

图18

但上面结论4是错误的，很多同学表示不相信，问题在哪儿呢？经过研究，有同学把图像放大了，有如下四个图（图19、20、21、22）.

图19

图20

图21

图22

看来有一个数N介于0.05和0.08之间，有：

（1）当A在［N，1）上变化时，两函数图像有一个交点；

（2）当A在（0，N）上变化时，两函数图像有三个交点；

所以，同底指数函数与对数函数图像的交点个数情况如下：

1.当A＞M时，两函数图像没有交点；

2.当A=M时，两函数图像有一个交点；

3.当A∈（1，M）时，两函数图像有两个交点；

4.当A∈［N，1）时，两函数图像有一个交点；

5.当A∈（0，N）上变化时，两函数图像有三个交点.

至此，同底指数函数与对数函数图像的交点个数情况分类讨论看似已结束，可是又有同学提出，上面的M和N这两个数到底是多少？看来，问题如抽丝剥茧，被层层递进，这样就把函数另一相关知识点——“导数”被提出来了，同学们热切期待着对这个相关知识点的探索与学习.

可见，通过图形计算器这个实验平台，让学生们自己动手一起探索，促进了师生之间的交流合作，在探索过程中，教师有意识地将数学研究的思想方法渗透到教学过程中，学生思维活跃，研究容量大，图形计算器的结合使用既提高了课堂效率，也丰富了学生对数学研究的方法.在他们动手操作的同时，激发了他们的创造性思维，充分体现了数学实验有利于培养学生的数学动手能力、表达能力、观察能力和创新能力.

注：由导数相关知识推理，上述M和N这两个数分别如下：