从一道数列练习题谈起

☉广东省深圳市红岭教育集团 马 锋

下面着重来分析、解答第（3）问：

思路一：观察左边和式的通项，如果它可以适当放缩成一个新的数列，而且此数列可以进行求和，并且求和的结果正好与右式能够联系起来的话，问题就可以顺利解决了.

点评：放缩法过程非常简洁，很多教学资料的参考解析多喜欢使用此法，处理过程给人一种很“高大上”很奇妙的感觉.实际上此法难度是相当高的，多数学生很难驾驭，可以说是最难实现的，要想放缩得恰到好处必须通过大量的习题反复训练才可能实现.这里主要有三个方面的问题要处理好：其一是要先按照不等式方向进行适度地放大或者缩小；其二放缩后的结果必须可以顺利求和；其三求和后的结果务必要达到期望的目标才行.这里面真是环环相扣.只要有一个环节出问题就必须再次尝试再次调整，稍有差池就很难顺利解决.

思路二：显然所有的数列问题都是与正整数有关的，自然就想到了数学归纳法，它是解决此类问题的一把利器，不妨用数学归纳法试一试，这里的关键是在于第二步从n=k的假设条件去推导证明n=k+1时命题成立.

点评：数学归纳法对于正整数有关的题目都可以尝试，此题用起来还是较顺利的，第二步推证中使用分析法解决核心问题，总体还是不错的，但是这种解法对解题格式要求比较高，必须是“两步一结论”的模式，而且第二步的证明中必须要用到n=k时的假设条件，很多学生可能会感觉此方法有点烦琐死板过程拖沓，可能未必会考虑使用，这也是此法得不到应有尊重的一个重要原因.

思路三：这是一道有关数列的不等式证明题，受函数单调性方法解题的启发，可以考虑利用数列的单调性方法来处理，可以构造一个新数列，通过作差来确定此数列的单调性，从而解决待证明的问题.

点评：单调法主要是利用数列的单调性来解决问题，也就是把一个有关数列很多项的不等式证明问题转化为为数不多的几项并化简来进行比较，作差后的定号问题很好地运用了均值不等式来处理，从而最终达到了化繁为简的目的，这也是我们解决复杂问题的基本思想，此解法显然对本题很实用也很有创意.

思路四：受到左式是一个求和形式的启发，尝试把右式也看成一个数列的求和的结果，可以利用和式作差来得到通项，接下来只要把两个数列的通项使用比较法进行比较即可解决问题.

点评：构造法的原理其实很简单，就是通过比较数列的通项来解决数列求和的比较问题.解题的关键是把一边待证明的式子构造成一个新数列的和的形式（当然首先另一边要是一个连加式），该法体现了化整为零的思想，很多有关数列和式的不等式证明问题都可以考虑使用这种解法.

在本题第（3）问的解答过程中，放缩法过程比较简洁，数学归纳法比较容易切入，单调法比较有创新思维，而构造法比较容易操作.以上方法对于解决诸如此类有关不等式求和的证明题是非常有效的，当然在具体使用时要注意灵活选择，恰当运用.下列两个不等式大家可以仿照前面的方法进行类似证明：

事实上很多题目本身并不难，只是我们对解题方法掌握得不全面不熟练才感觉棘手，茫茫题海中有很多类似的问题等待我们去克服，要想顺利地到达胜利彼岸，就必须通晓很多类型题目的解题方法和解题套路，从而实现举一反三，触类旁通，这也是高三复习中的高效学习高效复习的基本要求.F