多元视角剖析高中数学几何对称题

☉江苏省南京市东山外国语学校 王玉清

对称的本质是指两个物体或两个图形相对和相称，对称问题是高中数学中的常见问题之一，用解析几何的方法研究对称问题是高中数学教学内容的重要应用，也是处理高中数学几何问题的思维方法，几何对称问题是高考数学中重要题型之一，一直受到一线教师的关注.本文以高中数学几何对称题为研究对象，着力于多个角度探讨几何对称题的解题方法，以期实现学生解题能力的不断提升，推动课堂教学效率的提高.

一、几何对称问题的分类思考

在高中解析几何中，对称问题涉及“中心对称与轴对称”两种类型；中心对称是指两点连成线段，关于该线段的中点对称，一般的处理手段为：若点M（x1，y1）和点N（x2，y2）关于点O（x0，y0）对称，则它们之间坐标满足x0=的中垂线对称，“垂直、平分”是构建方程的关键条件，一般处理手段为：令点M（x1，y1）和点N（x2，y2）关于直线y=

二、几何对称问题的多元剖析

例1 若在抛物线y=ax2-1上存在两点关于直线l：x+y=0对称，试求实数a的取值范围.y

图1

方法1：易知a>0，根据题意构建抛物线与直线l图形，如图1所示，令M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上关于直线l对称的两点，连接MN，根据几何关系可知，直线l为线段MN的垂直平分线，直线l与线段MN的交点为P（x0，y0），可令直线MN的函

点评：此解法是借助于一元二次方程的判别式构建不等式求解变量范围，解决本题的关键是借助于抛物线上的两个关于对称轴对称的点，构建直线与抛物线存在两个交点，即函数方程Δ＞0；巧妙运用中点坐标代入对称轴方程，将引入的未知参量b消去，进而得出所求参量a的取值范围.

点评：此解法主要运用抛物线上存在两个关于直线x+y=0对称的点，采取替换方式构建方程组，借助于代数运算构建关于x1的一元二次方程，根据判别式形成不等式关系求出变量a的取值范围.显然，这种解法思路清晰、过程简洁，充分展现解析几何中位置与代数中数量关系的灵活转换，此解法中将解析几何数学思想体现得“淋漓尽致”.

点评：此解法中将两点坐标代入抛物线方程，采用代数变形的方式求出两个对称点的中点P的坐标，利用中点一定在抛物线图形内部的几何特点构建不等式，进而求出变量a的取值范围，这也是此解法的关键之处；可见，运用了点和曲线的位置特征构建不等关系进行求解问题，不失为一种极其有效的数学思想方法.

例2 直线a和直线b关于直线l：3x+4y-1=0对称，已知直线a的方程为2x+y-4=0，试求直线b的方程.

图2

点评：本题处理的手段具有一定的特殊性，首先在直线a上确定一个特殊点A（2，0），根据对称性，构建直线AB⊥l（A、B两点关于直线l对称），根据对称性特征列方P，联立方程组求出P（3，-2），再根据直线b上存在B、P两点，求出直线b的方程；显然，本题中特殊点的引入大大简化了代数运算，也是成功解题的关键之处.

方法2：根据题意，直线a、b关于对称轴l：3x+4y-1=0对称，令直线a上存在动点A（x1，y1），在直线b上的对称点为B（x，y），直线AB⊥l且线段AB的中点在直线l上，则线a与直线l、直线b存在交点方程：2x+y-4=0，可直线b的方程为：2x+11y+16=0.

点评：此法关键在于对称轴L为线段AB的中垂线，在直线a上任取一动点A（x1，y1），根据中垂线特征构建方程组，建立x、y与x1、y1的关系，最终得出直线b的方程；本题中涉及多个变量，对学生的能力要求较高，教师可以借助于典型案例剖析，引导学生辨析各个变量的内涵，掌握合理的解题规律，不断提升数学解题能力.

三、结束语

总而言之，本文中探讨的典型案例是以对称为背景的求解参数变量范围的问题，处理问题的主导思想是利用直线与曲线交点的几何条件转化成代数方程、代数不等式的形成进行求解.众所周知，对称问题是数学高考中的重点、难点和热点，处理这类问题可以从多个角度进行思考，抓住几何对称性特征与代数运算相结合，高效处理此类问题，进而达到“事半功倍、减负增效”的目的.F