教之道，在于思
——小议挖掘课本习题的价值

☉安徽省舒城中学 秦国刚

纵观现阶段数学课堂教学，教师对于教材的利用率是愈来愈低，这一点已成为数学教学，特别是复习教学的共识.教材利用率低是什么原因造成的？这一问题笔者在一次研讨会中专门请教过人教版教材主编章建跃博士，章博士对此的回应：“受制于两方面因素：第一，不少教师不理解我们辛苦编排的教材，为什么这样编？有什么好处？这样教怎么帮助学生理解数学知识？第二，很少有教师对于教材的例题、习题进行深度挖掘，去思考其中的知识价值，更多的教学是用教辅资料完成，这样的教学只能说在熟练度上有一定的成效，在理解和创新角度来说没有成功.”

因此，从高效教学的角度来说，如何将教材的例题、习题进行挖掘，通过与考题进行联系，让习题教学功效最大化是教师的教之道.本文从案例出发，与大家一起探讨这种尝试.

一、问题

教材B组习题中的“选菜问题”：学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择.调查资料表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B菜；而选B菜的，下星期一会有30%改选A菜，用an、bn分别表示在第n个星期选A的人数和B的人数，若a1=300，求a10.

解决导向：利用构造可得an+1-300=0.5（an-300），显然{an-300}是等比数列，因而数列通项不难求解.

说明：教材的习题依托了等比数列的概念，在求解过程中，教师引导学生既要重视教材的基本概念（等比数列定义），也要关注数学思想的运用（整体构造），两者结合是教材习题渗透出来的“味道”.从数列结构分析，我们不难发现形如问题1中的递推数列可以通过构造等比数列进行求解，教材习题在源自等比数列概念的基础上，用选菜问题进一步提炼了等比数列概念的运用，将整体思想和构造方式置于实际问题中，这种构造大大加深了学生对于教材中概念的理解.可以这么说，中学数学大多数问题都是整体思想的渗透和运用，因此这样的习题值得教师积极引导和思考.从习题功效来说，这种仅仅解决问题的方式还远远不够，因此进一步的开发成为教学更深之道.

二、思考

从递推数列模型an+1=pan+f（n）中，我们发现当f（n）=q（常数）时，运用等比数列概念和整体构造思想可以得到问题的通性通法，这成为解决一阶线性递推数列的基本方式.笔者认为，对类似的问题还可以进一步思考不同的变化，这对于基于教材、高于教材有更好的理解.

思考1：已知数列{an}满足a1=1，an=2an-1+n-2（n≥2），求通项an.

错解：令：an+x=2（an-1+x），整理得an=2an-1+x，显然x=n-2，所以{an+n-2}是等比数列，可求得数列an=0，显然和已知不符.

分析：问题出现在哪里？为什么貌似正确的解决方式得不到？这里运用和问题类似的等比数列整体构造方法，哪里出了问题？首先请正确的学生给出解答过程.

解：令an+λn+u=2［an-1+λ（n-1）+u］，整理得an=2an-1+2［an-1+（n-1）］（n≥2），即{an+n}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，得an=2n-n.

说明：改变数列递推关系的结构，将模型中的常数改变为含有n的一次式，学生的第一次错解发现了构造的误区，经过检验排除了这种构造，从而获得了更深的思考：从函数思想角度切入，当常数变为n的一次式时，我们可以理解为一次函数是构造的重要因素，考虑到两边整体思想介入时结构的完整性，因此正解的构造才是合乎情理的，这也进一步验证了为什么当f（n）为常数时两边必须构造常数的意义，这不正是常数函数的理解嘛！

说明：这是笔者进一步对上述问题思考后进行的问题创编，将一次函数模型提升到了二次函数模型，请学生加强对等比数列构造的理解.本题是笔者编制给学生尝试的，从过程和结果来看，学生对于问题的理解获得有了一定的深度，并且将类比思想运用到问题的理解之中.可谓获得了深度的思考！在问题的交流中，甚至有学生提出了将模型改为三次函数等，从而这类递推数列通项问题的求解获得了一种通性通法.对于学生成功的联想，不正是我们教学需要的结果吗？可以说，以教材问题为起点，不断拓宽教学的思路，提升思维的品质，获得了知识紧密衔接运用的可能，是高效教学的典范.

思考3：设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban-2n=（b-1）Sn.

（1）证明：当b=2时，{an-n·2n-1}是等比数列；

（2）求{an}的通项公式.

分析：由题意知，a1=2，且ban-2n=（b-1）Sn，ban+1-2n+1=（b-1）Sn+1，两式相减得b（an+1-an）-2n=（b-1）an+1，即an+1=ban+2n. ①

（1）当b=2时，由①知，an+1=2an+2n（f（n）为指数函数模型），令an+1+λ（n+1）2n+1=2（an+λn2n），易n·2n-1}是首项为1，公比为2的等比数列.

（2）当b=2时，由（1）知，an=（n+1）2n-1；

说明：将模型改为指对数函数模型，正是在教师启发下学生的自我尝试.从探索过程来看，递推数列中对指数函数模型的求解，按照等比数列的直接构造有一定的困难，在尝试两边结构相同的情况下，不停地调整构造，从而获得了等比数列下构造的成功.从学生对于指数函数模型的构造来说，学生获得了进一步类比的能力，而且在这一过程中不断调整，将问题的理解分为两种不同情形，提出了通性通法，是学习深度思考的结果.当然，指数函数模型的构造还有更为简单的方式，可以转换为前面理解的问题，进一步将转化思想渗透其中，让陌生问题的解决变得更为容易些.但对于对数函数模型来说，这种构造显然还不能进行（有兴趣的读者可以尝试a1=1，an+1=2an+log2n），因此学生对递推数列求通项的等比数列构造法做出了合适的通性通法的总结.

三、小结

（1）f（n）为一次函数时，即an+1=pan+bn+c，此法可行高效.只需构造an+1+λn+u=p［an+λ（n-1）+u］，利用待定系数求出λ与u即可.

（2）f（n）为二次函数（或二次以上）时，此法仍旧可行高效，只需构造，an+1+λ（n+1）2+u（n+1）+v=p（an+λn2+un+v）利用待定系数求出λ、u与v即可.

（3）当an+1=pan+qn时，可按等比建构，当p=q时，即an+1=

当p≠q时，构造an+1+λqn+1=p（an+λqn），易得比数列.

当an+1=pan+qn时，也可转化建构同选菜问题类似解决.

总之，以教材问题为蓝本，进行挖掘和深度思考，将知识和思想完美地融进这样的问题，进行适度的开发有助于教学的高效，当然这需要教师一定的积累和尝试，但是久而久之的积累一定能大大提高教师自身的专业水准，也提高了教学的乐趣和效率.