立足数学问题模型，突破构造法解题教学难点

☉广东省广州市第六中学 璩 斌

一、高中数学中的构造法

直接列举出满足条件的数学对象或反例，构造结论的肯定和否定或间接构造某种对应关系，使问题根据需要进行转化的方法称之为构造法.简单的说，构造法就是将题目中的条件与结论进行数学结构构造，从而将未知量转化为已知量的一种数学方法.应用构造法，必须要通过认真的审题确定数学题目给出的条件和需要求得的结论，并且要分析出它们之间存在的相互关系或者是特点、性质等基本内容，然后利用直观的图形或者是通过数形结合的方式来解决数学问题.本文对高中数学构造法教学进行一些探究，以期提供一定的参考.

二、突破在高中数学构造法解题中的教学难点

（一）立足函数问题模型的构造法

构造法在函数问题中的应用，主要是通过一定的方式，设计并构造一个与有待解答的问题相关的函数模型，并对其进行观察分析，借助函数本身性质如单调性或利用运算结果，解决原问题的方法，下面举例说明如何在教学过程中构造函数模型来解题.

例1 已知-1＜a＜1，-1＜b＜1，-1＜c＜1，求证：ab+bc+ca+1＞0.

分析：此题有三个可以轮换的变量，可以构造以一个变量为主元的一次函数，利用其值域来解决问题.

证明：构造一次型函数f（a）=a（b+c）+bc+1，对应一条直线.

因为f（1）=b+c+bc+1=（b+1）（c+1）＞0且f（-1）=-b-c+bc+1=（b-1）（c-1）＞0，所以当-1＜a＜1时，f（a）＞0，故ab+bc+ca+1＞0.

例2 已知x，y，z∈R，求证x2+4y2+9z2≥4xy+6zx-12yz.

分析：此题变量较多，并且各项都是二次的，难以突破，但如果寻找一个主元，并以其为自变量构造一个二次函数模型，情况就简单了.

证明：要证明原不等式，只要证明x2-（4y+6z）x+4y2+9z2+12yz≥0.

不妨以x为主元构造二次函数f（x）=x2-（4y+6z）x+4y2+9z2+12yz，此函数开口向上，其判别式Δ=（4y+6z）2-4（4y2+9z2+12yz）=0，故由其图像可知，f（x）≥0，即x2-（4y+6z）x+4y2+9z2+12yx≥0成立.

例3 已知a，b，c为实数，且a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0.

分析：此题若进行常规的分类讨论则比较麻烦，而若把a，b，c当成根，其结构为三次方的韦达定理，所以可以构造三次函数来解题.

证明：构造函数f（x）=（x-a）（x-b）（x-c），则f（x）=0有三个根a，b，c.

又f（x）=x3-（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）x-abc，

若x≤0，则f（x）＜0，这说明f（x）=0不可能有小于或等于0的根，故a，b，c均大于0.

例4 已知（3x+y）2017+x2017+4x+y=0，求4x+y的值.

分析：本题有两个变量且是高次（奇次）函数，所以可构造一个2017次奇函数.

解：构造函数f（x）=x2017+x，因为f′（x）=2017x2016+1＞0，且f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数且单调递增.

又因为（3x+y）2017+x2017+4x+y=0⇔（3x+y）2017+（3x+y）=-x2017-x，所以f（3x+y）=f（-x）.

因为f（x）是单调函数，所以4x+y=0.

让学生在掌握基本方法的基础上进行函数构造，提高解题效率.首先，我们要对题目的已知条件进行分析，学生应当熟练地掌握构造法在这类题目中的应用，在考场上才能够快速、准确地解决问题.

（二）立足方程问题模型的构造法

方程是高中数学的重要内容，也是高考、竞赛中必然会涉及的考点，函数与方程之间有着十分密切的联系，因此构造法在方程问题的解决过程中有着天然的优势.一般情况下，在涉及方程知识的题目中会将数量关系、数学结构特性等作为已知量，构造法在其中所起到的作用就是利用方程假设的思想，结合已知条件构造等量方程式，通过方程的等量关系、恒等变形等来解决问题.

将构造法与方程结合得到的构造方程能够在代数结论证明、平面几何问题、解析几何问题、数列问题等得到广泛的应用.在实际教学过程中，教师要将这种解题思想进行不断的渗透、反复的练习，让学生熟练地掌握构造方程方法的应用.

（三）立足几何问题模型的构造法

利用图形进行数学问题的解题是高中数学的重要解题方式，图形能够将复杂的数学问题进行具体的表现，让数学问题更加直观地展现在我们面前.构造法与图形解题的相互结合能够促使问题解答更加简化，这要求学生对图形的基本结构和性质非常了解.下面以几种常见图形进行构造举例如下：

1.构造点到直线的距离

图1

解：如图1，在直线2x+y=1上的线段AB内找点P（x，y）到y轴和原点的距离之和的最小值，另求原点O（0，0）关AB于P，交y轴于D点，由对称性可知，x+的最小值

2.构造三角形

图2

分析：本题若按常规方法去证明这个二元二次的根式不等式则非常麻烦，可以运用余弦定理构造三角形来证.

3.构造长方体

例8 已知四面体A-BCD中三组对棱分别相等，且长为2，，，求四面体A-BCD的外接球的半径.

图3

分析：由四面体A-BCD中三组对棱分别相等，而矩形的两条对角线是相等的，所以可构造长方体.

分析：本题单纯从数的角度考虑，不易找到解题的切入点.长方体的体对角线与过同一个顶点的三条棱所成角的余弦的平方和是常数，根据题目的结构特征，构造长方体，探求思路，可以证明结果.

图4

4.构造圆锥曲线

例10 （构造圆）如图5，在平面直角坐标系中，在y轴的正

半轴上（除原点外），给定两点A、B.试在x轴上求点C，使∠ACB取得最大值.

分析：因A、B是定点，C是动点，可设C点坐标，利用线线夹角公式，但是运算繁杂.经过A、B作圆切x轴于点C.则∠ACB取得最大值，因圆角大于任一圆外角（即∠ACB＞∠ADB），设A（0，a），B（0，b），由切割线定理知，

图5

例11（构造双曲线）已知△ABC，AM为BC边上的中线（点M在BC边上）且满足AM=AB-AC，BC=4，求△ABC面积的最大值.

分析：将等式的两边分解为两个轨迹的公共点，构造双曲线，利用双曲线的定义和方程简化运算.

图6

解：如图6，设AM=2a，则A点是以B，C为焦点的双曲线圆x2+y2=4a2的交点（其中进而等号成立.

例12 （构造椭圆）在△ABC中，AB+AC＞2BC，求证：∠B-∠C＞2∠A.

分析：把AB+AC=2BC看成是以E，C为焦点的椭圆，则AB+AC＞2BC表示的点在椭圆外，可构造椭圆来解决.

证明：如图7，以B，C为焦点，2BC为长轴长构造椭圆，由△ABC的顶点A在椭圆外部，因此∠A＜∠BA1C≤

图?

图?

所以本题就构造成y=x2的点到A（3，2），B（0，1）的距离之差的最大值问题，如图8，显然可得|PA|-|PB|≤|AB|=

三、思考与建议

高中数学的学习涉及多个方面的知识，这些知识联系密切，因此学生会遇到类型多样、灵活多变的题目，但是数学解题的方法和思路是相对固定的，其中构造法的应用不仅能够提高解题效率，而且还能够有效地锻炼思维.构造模型处理不仅减少了计算量而且为这类问题找到了几何解释使得对这类问题的认识更深入、更全面，可见构造法解题重在“构造”，这促使我们要熟悉几何、代数、三角基础知识的本质的结构特征，并能加以灵活运用，除本文分析的构造函数、构造方程和构造图形之外，构造法在向量、立体几何、三角函数等方面的解题中也能发挥重要作用，教师要引导学生进行不断的练习，熟练地掌握构造法在不同类型题目解题过程中的应用.