多角度巧妙转化，求解数量积最值
——一道模拟题的多解

☉江苏省宜兴市第二高级中学 孙 立

美国著名数学家哈尔莫斯曾说过：问题是数学的心脏.对学生来说，各类考试题无疑是最熟悉的“问题”.如何提升学生的解题能力，是每位老师思考的重要课题.经过理论和教学实践证明，一题多解是提高解题能力的有效途径.在呈现不同解法的同时，暴露思维过程，从而解题能力得以拓展与提升.

题目 如图1，已知AC=2，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点（不含端点A，B，C），且BM⊥BN，则的最大值为______.

图1

分析：平面向量的数量积问题一直是高考、各类模拟题中的常见题型，涉及数量积的求解、最值的确定、参数的求值等问题，且往往难度较大.从哪些角度切入，如何正确破解此类问题，是处理此类问题的重点所在.

解法1：如图2，以点B为坐标原点，线段AC所在的直线为x轴，线段AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，可得A（-1，0），C（1，0）.

图2

角度2：通过建立平面直角坐标系，设出直线BN的斜率为k（k＞0），结合相应直线与圆的方程的联立，确定对应的点N、M的坐标，结合平面向量的坐标运算来处理转化对应的数量积，结合涉二次函数的取值范围问题来确定对应的最值即可.

解法2：如图2，以点B为坐标原点，线段AC所在的直线为x轴，线段AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，可得A（-1，0），C（1，0），

半圆AC的方程为x2+y2=1（y≥0），半圆AB的方程为

角度4：设出

图3

角度6：结合条件，以BC为直径在AC的同侧画出对应的辅助半圆，这样通过把向量转化为一起，并设BD=t（0＜t＜1），结合平面向量的数量积的应用转化为含t的关系式，结合涉及t的二次函数在限定区间上的取值范围问题来确定对应的最值即可.

看似简单的一道平面向量问题，其实认真分析，仔细探究，可以从不同角度展开来解决，也可以通过不同方式加以拓展深入，真正达到“认真解答一个题，拓广解决一类题，变式深化一片题，思维能力一起高”的目的.其实，通过“一题多解”可以将这些主干知识进行“串联”，同时“并联”起数学思想方法和核心素养，开拓学生的解题视野，有效促进学生思维品质的改善和创新发展能力的提升，使学生体验到数学的乐趣，收获成功的喜悦，增强学习数学的兴趣和信心.F