一道解三角形模拟题的多角度思维

☉江苏省口岸中学 叶阿平

实际应用问题一直是新课标高考，特别是江苏高考中的一大亮点，通过解三角形中的实际问题的设置，来考查数学模型与解三角形的综合应用问题，可以很好考查学生的数学解题能力.同时在实际应用问题中，如下几类工具在解决问题中时很常见：导数，不等式，解三角形，二次函数的图像与性质等.在解决此类问题中，通过捕捉有用的信息，并进行对比、联想，从一题多解等形式进行练习，这对培养我们思维的广阔性无疑是有益的.下面就对一道解三角形的多解试题加以剖析.

题目 如图1，经过村庄A有

两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）.如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）？12，即AP取得最大值

图1

答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小.

图2

在△PMD中，因为PM=2，所以PD=2sinθ，MD=2cosθ，

在△AMN中，∠ANM=∠PMD=θ，

方法三：设AM=x，AN=y，∠AMN=α.

在△AMN中，因为MN=2，∠MAN=60°，

所以MN2=AM2+AN2-2AM·AN·cos∠MAN，

即x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=4.

答：设计AM=AN=2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小.

方法四：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系，

答：设计AM=AN=2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小.

方法五：由运动的相对性，可使△PMN不动，点A在运动，

由于∠MAN=60°，所以点A在以MN为弦的一段圆弧（优弧）上，

设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，

图3

由图形的几何性质知，AP的最大值为PF+R.

答：设计AM=AN=2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小.

方法六：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐P（x0，y0）.

因为MN=2，所以（x1-x2）2+

图4

所以4+2x1x2≥4x1x2，即x1x2≤2，

答：设计AM=AN=2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小.

总评：本文通过对一道解三形问题的展示，分别利用三角函数法、构造直角三角形法、基本不等式法、坐标法、几何法、变换法等不同的思维方式来分析与求解，真正达到一题多思维、一题多知识点、一题多能力的目的.

通过一题多解，我们体会到：这样的问题可以使我们的解题思路开阔，妙法顿生，提高了解题速度，培养了发散思维能力，有助于激发我们学习的主动性、积极性、趣味性，也有助于全面提高我们的知识水平和思维广阔性.J