对2018年江苏高考数学卷第12题的多解探究

☉江苏省宜兴中学 陈 刚

高考中对于直线与圆的考查，一般以选择题或填空题的形式为主，多为容易题或中档题.但其问题背景各异，变化多端，知识板块间的交汇也各式各样，可以涉及集合、向量、线性规划、圆锥曲线、坐标变换等内容，包括圆的方程的求解，与圆有关的最值、定值问题，位置关系的判断，相关参数的求解等众多的题型.2018年高考江苏卷第12题把直线与圆，平面向量的数量积等知识加以交汇，通过巧妙设置，进而来确定相关点的横坐标问题，既在代数中显示几何特征，又在几何中蕴含代数思想，是一道不可多得的创新题.

例 （2018·江苏·12）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一个点D.若=0，则点A的横坐标为______.

分析：本题主要涉及直线的方程，圆的相关性质，平面向量的数量积，点的坐标，关键在于考查数形结合思想，化归与转化思想，以及运算求解能力.如何结合题目条件，把题中的相关问题加以联系与转化，这是解决问题的切入点.可以从解析几何思维、三角函数思维、平面几何思维三个思维角度的几种不同解法来分析与处理.

一、解析几何思维

利用解析几何思维来处理圆的相关问题，往往可以从直线与圆的位置关系、两直线的位置关系、点到直线的距离公式等角度切入来达到巧妙转化与应用的目的，从而得以求解解析几何中的相关问题.件，舍去），

所以点A的横坐标为3.

解得a=3或a=-1（不合条件，舍去）.

所以点A的横坐标为3.

而圆C是以AB为直径，则有∠ADB=90°，

所以点A的横坐标为3.

二、三角函数思维

三角函数思维来处理圆的相关问题，往往借助直线的倾斜角，结合同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换公式等来达到巧妙转化与应用的目的，从而得以求解解析几何中的相关问题.

三、平面几何思维

利用平面几何思维来处理圆的相关问题，往往要借助平面几何中的相关知识，包括圆幂定理、三角形的相关性质与判定等来达到巧妙转化与应用的目的，从而得以求解解析几何中的相关问题.

而AC=DC，则知∠DAC=45°，而圆C是以AB为直径，则有∠ADB=90°.

设OD=m（m＞0），由于直线l：y=2x，结合直线的斜率

通过从多个不同角度来处理，巧妙把该题的底蕴充分挖掘出来，从多角度出发，多方面求解，真正体现对数学知识的融会贯通，充分展现知识的交汇与综合，达到提升能力，拓展应用的目的.进而真正达到在学中“悟”，在“悟”中不断提升解题技能.正如我国著名数学家苏步青先生说过：“学习数学要多做习题，边做边思索，先知其然，然后知其所以然.”J