高中数学超越函数解题技巧

☉河北省衡水第一中学 陈亦凡

超越函数，指的是变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数.具体而言，是一类不满足任何以多项式作系数的多项式方程的函数.针对于高中数学模块，可细化为在一个表达式中含有指数、对数、幂、三角函数中两者或两者以上类型的函数.非数值分析法可解的超越函数仅有f（x）=lnx-x+1，f（x）=x-ex+1等，大部分超越函数直观上是不可解的.但经过认真梳理分析，部分“不可解”的超越函数可以采用恰当的方法，巧妙地获得答案.

一、对称性在超越函数中的应用

部分函数本身的解虽然无法求出，但其组合运算可通过函数对称性来破解.

因为g（x）为奇函数，所以g（x）max+g（x）min=0.

所以M+m=［g（x）max+1］+［g（x）min+1］=g（x）max+g（x）min+2=2.

虽然函数本身的最值解无法找到，但因其由奇函数上移得到，故可通过奇函数的性质快速解题.

二、超越函数的单调性在解题中的应用

超越函数往往和未知参变量相结合，讨论超越函数单调性要分类讨论参变量取值，不用详细描述函数图像.

例2（2016年石家庄二中高二期末试卷）已知f（x）=lnx-ax2+（2-a）x（x＞0），求f（x）的极值.

对a进行分情况讨论：

当a≤0时，在定义域内f′（x）＞0恒成立，f（x）单调递增，无极值.

含参超越函数的单调性判断，是高中数学导数部分考察的重点，是进一步解决函数恒成立等问题的基础.

三、代换思想在超越函数中的应用

对于超越函数推导出的方程，无需求出具体的根x0，可用代换思想转换为关于x0的非超越方程，再继续求解.

则a（x02-2x0+2）=0，其中判别式Δ=-4＜0，方程无解.

所以，f（x）不能与x轴相切.

通过上述解题过程，不难发现虽然无法求出①、②成立时具体根x0，但用代换思想将其转换为关于a和x0的非超越方程，问题就变得可解了.

四、构造函数思想在超越函数中的应用

基于超越函数导函数构建出一个超越函数，利用题中相关条件确定新构建超越函数的值域，从而确定原函数的单调性，同时结合原函数的特殊点值，便可巧妙地获取答案.

解析：f（x1+x2）-f（x1-x2）＞-2x2

⇒f（x1+x2）-f（x1-x2）＞-（x1+x2）+（x1-x2）

⇒f（x1+x2）+（x1+x2）＞f（x1-x2）+（x1-x2）恒成立.

令g（x）=f（x）+x，x∈R，

依题意g（x1+x2）＞g（x1-x2），

所以g（x）在R上单调递增.

设h（x）=g′（x）=xex-ax+1在R上的最小值非负，

h（1）=e-a+1≥0⇒a≤e+1，

假设a=3，则h（x）=xex-3x+1.

1.当x＞0时，h（x）≥x（x+1）-3x+1=x2-2x+1=（x-1）2≥0，成立.

2.当x=0时，h（x）=1，成立.

3.当x＜0时，h（x）=xex-3x+1＞x-3x+1=-2x+1＞0，成立.

所以a=3.

上例中，我们通过构造新函数，将多元变量型超越函数转化为一元变量超越函数的单调性，进而求解.

五、参变分离思想在超越函数中的应用

参变分离的核心思想是设而不求，通过对超越函数导函数和x轴交点的研究，将超越函数的极值转变为普通函数，通过缩小与x轴交点横坐标的范围，求出相应的极值，此类问题的关键点是对缩小范围限定条件的准确把握，以使在此范围内，有且只有一个极值满足条件.我们对例4中g（x）在R上单调递增利用参变分离技巧进行分析求解.

分离参数一般要求针对的未知数取值分情况讨论，本质上是构造一个参数关于未知数的新函数求解.

六、“定一议一”和数形结合思想在多超越函数中的应用

对于更为复杂的多超越函数而言，我们往往将其中一个函数看作简单函数或常函数，从而将其转变为单一超越函数的问题，并画出图像，结合此超越函数和转换后的简单函数或常函数，利用题干中对交点的要求进行平移操作，求出取值范围.

因为f（x）=g（x0）在（0，e）上总有两个不相等的实根，所以f（x）在（0，e）上不单调，

由例2知a＞0，且需满足下列条件

针对多变量问题，一般定一议一，从易到难，逐步讨论，数形结合判断所需满足的条件.

综上，超越函数并不是无从下手.关键在于明晰函数特点与所努力目标，充分合理利用函数性质、图像、导数的意义，选择恰当的方法求解.