不完全归纳推理法在平方数判断中的应用

☉湖北省武汉市武钢三中 孟工棋

不完全归纳推理又称不完全归纳法，是以某类对象中的部分对象具有或不具有某一属性为前提，推出以该类对象全部具有或不具有该属性为结论的归纳推理.不完全归纳法在探求新知识的过程中具有极为重要的意义.平方数的判断是初等数论中有趣的问题之一，两个自然数的乘积是平方数，而这两个自然数线性变换的乘积是否也为平方数呢？下面举例说明判断过程与不完全归纳推理在部分判断过程中的应用.判断过程中主要用到了不等式、平方差公式、一元二次方程根与系数的关系、不完全归纳思想等知识点.

一、问题的提出

若a，b是不相等的正整数，且ab为平方数，那么（a+2）b，（b+2）a，（a+2）（b+2）是否为平方数？

二、是否为平方数的判断与推理

根据问题所给的条件，我们不妨规定正整数a＜b，ab=k2，k∈Ζ+，则a＜k＜b.

1.a（b+2）是否为平方数的判断

因为a＜k，所以2a＜2k＜2k+1.由于k2=ab，且a∈Z+，所以k2＜a（b+2）.另外，a（b+2）=ab+2a，且ab=k2，a＜k，则ab+2a＜k2+2k＜k2+2k+1=（k+1）2，即a（b+2）＜（k+1）2.可见a（b+2）介于平方数k2与（k+1）2之间，所以a（b+2）不可能为一个平方数.

2.（a+2）b是否为平方数的判断

假设（a+2）b为平方数，即（a+2）b=m2，m∈Z+，由于ab=k2，我们有

注意到（m-k）+（m+k）=2m为偶数，因此（m-k）与（m+k）同为奇数或偶数，而（m-k）（m+k）=2b为偶数，因此m-k，m+k都为偶数，不妨设

因为k∈Z+，所以s≠t.

②式代入①式中有，2b=（2s）（2t），即b=2st.而ab=k2，故

3. （a+2）（b+2）是否为平方数的判断

假设（a+2）（b+2）为平方数，即（a+2）（b+2）=m2，m∈Z+，则ab+2a+2b+4=m2，那么2a+2b+4=m2-ab=m2-k2，即

2a+2b+4=2（a+b+2）=（m-k）（m+k）. ③

与前面的讨论类似，m-k与m+k同为奇数或偶数.由③式可知，（m-k）（m+k）为偶数，因此m-k与m+k都是偶数，设

根与系数的关系可知，a与b是方程x2-（2st-2）x+（t-s）2=0

由此可见，（a+2）（b+2）是否为平方数主要取决于a，b的取值.

要使a，b都是整数，只需要

此时有

三、讨论a，b的取值

由⑤式注意到当s=1时，t=1，与④式中的t＞s矛盾，所以s≥2.

由上面的不完全归纳，我们猜想s=n时，p=2n，代入⑤式中解得t2=1+4n2（n2-1）=（2n2-1）2，即t=2n2-1.

将s=n，p=2n，t=2n2-1代入⑥式，有：

a=（st-1）-p（s2-1）=［n（2n2-1）-1］-2n（n2-1）=n-1，

b=（st-1）+p（s2-1）=［n（2n2-1）-1］+2n（n2-1）=4n3-3n-1.

则ab=（n-1）（4n3-3n-1），

（a+2）（b+2）=（2n2+n-1）2，其中n≥2.

整理后得ab=（2n2-n-1）2，

（a+2）（b+2）=（2n2+n-1）2.

此时，ab为平方数，（a+2）（b+2）也为平方数.即当a=n-1，b=4n3-3n-1（n≥2）时，ab和（a+2）（b+2）均为平方数.

四、结论

综上讨论，当ab为平方数时，a（b+2）与（a+2）b都不是平方数，而（a+2）（b+2）是否为平方数主要取决于a，b的取值.在讨论a，b的取值时用到了不完全归纳推理，我们可以深刻地体会到不完全归纳推理的特点，从有限的特殊的规律中，猜测出一般的普适的规律，最后验证猜测的正确性，即结论所断定的范围超出了前提所断定的范围.不完全归纳推理结论的知识往往不只是对已有知识的简单推广，而且还揭示出存在于无数现象之间的普遍规律性，给我们提供全新的知识，尤其是科学的普遍原理.所以，不完全归纳法在探求新知识的过程中具有极为重要的意义.J