一道求最值题的解法探索

☉江苏省南京民办实验学校 韩小军

函数求最值的方法有许多，例如：均值不等式法、消元法、换元法、导数法、构造法等，许多题可以使用上述中几种不同的方法解.我们在平常的学习中要善于思考，挖掘一道题的多种解法，这样能够增加我们学习数学的乐趣，提高我们的解题能力.下面以一道函数求最值为例，浅谈一下它的多种解法，与各位分享.

方法一：消元法

采用消元法，将二元变量求最值问题转化为一元变量求最值问题，然后再利用导数求最值的方法求出最小值.

方法二：三角换元法

利用三角变换，将二元变量求最值问题转化为一元变量求最值问题，再利用导数求最值的方法求出最小值.

方法三：判别式法

先引进参数，再利用消元法，将二元变量求最值问题转化为一元变量在区间上有实根问题，然后利用判别式求出最小值.

因为2x+y=2，所以t2-2tx+x2=x2+（2-2x）2，整理得4x2+2（t-4）x+4-t2=0.

因为x＞0，y＞0，2x+y=2，所以0＜x＜1，所以关于x的方程在（0，1）两个实数解.

方法四：构造法

根据x＞0，y＞0，以及x、y、■ x2+y2之间满足勾股定理，因此可以构造直角三角形，取该三角形一个锐角为变量，将二元变量求最值问题转化为一元变量求最值问题，再利用三角函数的有界性求出最小值.

解：构造Rt△ABC，如图1所 示 ，∠C=90°，AC=x，AB=

图1

方法五：数形结合法

将数转化为形，画出图形，再利用点到直线的距离垂线段最短求出最小值.

解：如图2所示，设A（1，0），B（0，2），则2x+y=2且x＞0，y＞0表示以AB为端点的线段（端点除外），设点P（x，y）为线段AB上任意一点（端点除外），作PQ⊥y轴，垂足为点Q.设点O关于直线AB的对称点为C，易求y轴，垂足为Q0，交直线AB于点P0，则x+ ■ x2+y2=|PQ|+

图2

当且仅当点P在P0处时，取得最小值.

方法六：柯西不等式法

柯西不等式的二维形式为：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，等号成立的条件据这个公式，可得

这样凑成x、y的系数为2∶1，从而可以利用已知条件2x+y=2进行解题.

从上述数学题的解法中我们可以发现，数学不是枯燥无味的学科，相反充满着很多的乐趣.我们平常应该养成一个良好的学习习惯，注意从不同的角度思考问题，这样我们会发现有许多不同的解题方法，从而感受到数学的巨大魅力，体会到学习数学的乐趣，同时提高我们的解题能力.J