用“四项基本原则”求解数列问题

☉江苏省新海高级中学 李 杰

“基本数列、基本量、基本公式、基本思想”是处理数列问题的四项基本原则，如何构造基本数列，即等差数列与等比数列，利用an，Sn，d（q），n，a1及其通项公式和前n项和公式构建函数模型成为解决问题的关键.本文以一例常见问题谈谈“四项基本原则的应用”.

题目 已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，

解法一：利用等差数列的前n项和公式.

点评：本法遵循的原则是“基本公式”的应用，本法根据等差数列前n项和的模型为关于变量“n”且不含常数项的二次函数形式，故设为Sn=An2+Bn，再利用an与Sn的关系式：an=Sn-Sn-1进行求解.

解法二：由数列{an}，{bn}均为等差数列，设{an}，{bn}的首项分别为a1，b1，公差分别为d1，d2，则有：

点评：本法遵循了“基本量”的原则，通过回归基本量的基本思路.将两个数列的首项和公差代入和式，用方程思想消元求解，中间过程结合了特殊值法.解决等差数列的两大方向，基本量法或利用其性质来解决.基本量法反映的是方程或函数的思想，性质则是利用等差的特殊性质直接求解，强调的是式的整体变形，两大方法各有千秋.建了项与和之间的关系，对于求比值来说可谓“如鱼得水”，而法四利用了性质：若m+n=p+q，则有an+am=ap+aq.

本题围绕的是等差数列的S2n-1与an的特殊关系直接转化求解.一道看似简单的试题，但利用四个基本思想从各个角度解决等差数列问题，给我们呈现出精彩的思维展示，且始终围绕“基本数列、基本量、基本公式、基本思想”这一主题！其中函数思想——基本思想，回归等差数列的函数思想，利用等差数列前n项和的二次函数形式：Sn=An2+Bn，以及an=Sn-Sn-1将项与和进行转化得解，还

点评：法三和法四遵循了“基本性质”的原则，利用等差数列序号的对称性来求解.J