机床电主轴多结构耦合损耗因子的试验研究

李海虹， 王 菲

(太原科技大学 机械工程学院，太原 030024)

机床电主轴作为数控机床核心功能部件之一，其动力学特性是确保其高速稳定运行的关键因素，实现电主轴动力学精细化建模研究具有重要意义。电主轴将机床主轴与电机融合，结构复杂，其系统动力学模型不易求解或采用简化建模[1]。而统计能量分析理论利用统计方法将复杂的数理方程转为代数方程求解，从而实现复杂动力学系统的分析，目前已广泛应用于航空、航天研究领域的振动问题求解。

统计能量方法分析的关键参数有模态密度，内损耗因子和耦合损耗因子。目前针对这些参数进行了许多研究，涉及理论计算或与试验测试相结合的方法进行参数获取。如张永杰等[2]研究了基于脉冲激励的内损耗因子获取方法。Zhao等[3]利用有限元计算空间和频域平均的子系统能量比完成耦合损耗因子研究。巨乐等[4]提出用总损耗因子代替内损耗因子方法解决实际工程中子系统不可分离问题等。对于复杂结构，科学合理的试验方法将更可能获取最接近实际结构的参数。如Lin等[5]试验研究了稳态激励功率输入法获取损耗因子。由于稳态激励方法需要较高的实验条件，而且参数估计算法需要依靠较多的假设条件才能完成，周凤敏等[6]推导了瞬态激励条件下系统能量平衡 方程，建立了多结构耦合统计能量模型，并证明了其瞬态能量平衡方程合理性。张红亮等[7]通过瞬态激励实验研究了1/3倍频程分析中心频率内损耗因子。但是，目前通过瞬态激励条件下均值导纳测得能量比，并用于耦合损耗因子的研究尚未有相关文献记载。

本文针对部分不易拆卸的高速主轴系统，引入总损耗因子等效其内损耗因子，综合瞬态激励条件下均值导纳法和瞬态能量平衡方程，测量两圆柱壳体耦合损耗因子，并与理论均值导纳对比验证瞬态激励条件下其试验理论的可行性。

1 耦合损耗因子试验理论

1.1 瞬态衰减法测内损耗因子

耦合系统内损耗因子是反映子系统阻尼特性的量，是系统在单位频率内的损耗能量与平均存储能量比值，为系统固有特性，只与材料特性有关。用于测试分析频带内平均内损耗因子的方法通常由稳态能量流法和瞬态衰减法[8]。瞬态衰减法测试频段宽，测试精度高，易于操作等优点得到普遍应用[9]。瞬态激励为宽频带激励，损耗因子是与分析频率相关参数，但不必求得每一频率的损耗因子，因此一般多采用1/3倍频程分析频域，只需计算1/3倍频程中心处的内损耗因子[10]。当响应信号经过1/3倍频程滤波器截取各段1/3倍频程频域信号，通过Hilbert变换得响应解析信号的实信号包络取对数更清楚反映信号幅值衰减趋势。在实际测量中，衰减率δsn随时间变化会出现明显分段现象，在获取衰减率δsn中数据的选择、分段等总会带有主观性，对测量结构产生一定的误差。此时需将相应N分段衰减率δsn进行算术平均，进而获得加速度响应信号包络对数曲线衰减率计算各段1/3中心频率处fc平均内损耗因子ηsi关系式

(1)

(2)

式中：δsn为1/3倍频程响应点加速度包络对数曲线第n段内损耗衰减率；Asn(t1),Asn(t2)为第n段内损耗衰减率始末点幅值；ηsi为i子系统1/3倍频程平均内损耗因子；fc为1/3倍频程分析带宽中心频率。

1.2 瞬态衰减法测总损耗因子

瞬态衰减法测量子系统内损耗因子ηsi试验理论同样适用于测量子系统总损耗因子ηTsi。与其区别之处在于测量条件的要求： 总损耗因子ηTsi主要针对多系统装配体而言，激励其一子系统测得等效内损耗因子。对于测量子系统内损耗因子ηsi时，须使其水平自由悬挂，自由边界条件下可忽略子系统边界损耗因子，减少边界条件对能量传递的影响，便可解除子系统间耦合而独立测量； 对于测量总损耗ηTsi因子时，将耦合系统水平自由悬挂，脉冲外力依次激励子系统i时，采集子系统i上响应点加速度信号并计算总损耗因子ηTsi。

(3)

(4)

式中：ηTsn为1/3倍频程响应点加速度包络对数曲线第n段总损耗衰减率；ATsn(t1),ATsn(t2)为第n段总损耗衰减率始末点幅值；ηTsi为子系统i的1/3倍频程平均总损耗因子。

1.3 均值导纳法求子系统能量比

均值导纳表示子系统间的振动能量比，综合了统计能量分析法和导纳法的优点，克服了经典统计能量分析法假设条件的局限性。耦合子系统能量比是当其一子系统受到外部激励时，两个子系统的振动能量比值同时表示振动能量在整个耦合系统中的传递特性。同一子系统上任意两点的传递导纳可以用平均传递导纳表示，同一连接处的输入点导纳也可以用平均输入点导纳来近似。对于一个子系统的平均输入点导纳和平均传递点导纳仅仅表示子系统本身的特性，因此同样须要解除与其相邻子系统耦合而独立测量。根据均值导纳法求子系统能量比表达式[11]

(5)

(6)

式中：E21为仅当子系统1受瞬态激励时，子系统2与子系统1的平均能量之比值E2/E1；E12为仅当子系统2受瞬态激励时，子系统1与子系统2的平均能量之比值E1/E2；n1,n2为子系统1,2分析频带中心频率fc平均模态密度；G1,G2为子系统1,2输入点力导，量值上等于输入点导纳实部；Y1,Y2为子系统1,2连接处的输入点均值导纳；y1,y2为子系统1,2传递点均值导纳；M为独立连接点个数。

在试验测量分析频带中心频率fc的均值输入点导纳时， 通过瞬时激励力自功率谱Sff(fc)与相应加速度互功率谱Sfa(fc)比值求得精度高于通过激励力与响应速度比值，因此试验测得输入点均值导纳Ysi公式[12]

(7)

同样，试验测得均值传递点导纳ysi公式

(8)

分析频带中心频率fc的模态密度ni公式[13]

ni=4miRe{Yi},i=1,2

(9)

式中：mi为子系统i的质量。

1.4 瞬态激励耦合损耗因子

耦合损耗因子与系统结构形式和结合面连接形式密切相关，是统计能量分析中唯一用于表示耦合系统间功率流传递和耗散的重要参数。区别内损耗因子ηsi和总损耗因子ηTsi之处在于： 耦合损耗因子ηij针对耦合系统而言，主要用来表示连接处的振动能量损耗。瞬态激励下耦合系统的统计能量分析的平衡方程与稳态激励下能量平衡方程形式类似，瞬态激励主要以功率流的形式来表示，不同激励方式能量流动不同，子系统间能量比就不同，通过式(2)～ 式(4)测得子系统i总损耗因子ηTsi和内损耗因子ηsi， 一般情况下耦合损耗因子η12≠η21， 则可由瞬态能量平衡方程

(10)

(11)

(12)

由式(10)～式(12)得简化瞬态能量平衡方程

ηTs1=2(ηs1+η12-η21E21)

(13)

ηTs2=2(ηs2-η12E12-η21)

(14)

将式(13)、式(14)简化整理得耦合损耗因子并转换为噪声(声压)级dB表达式

(15)

(16)

式中：p0为噪声基准(声压)级。

2 耦合损耗因子试验

2.1 瞬态激励试验方案及内损耗因子的测量

瞬态激励试验研究对象为两子系统耦合结构-小型高速电主轴，其子系统1为由转子、定子、筒体组成多结构装配且不可拆卸的高速电主轴主体，以测量其总损耗因子等效为子系统1内损耗因子ηs1[14]；子系统2为单结构的圆柱壳体端盖， 其内损耗因子ηs2必须要求与子系统1解除耦合而独立测量。以子系统2为例说明，试验采用高弹性橡皮绳系子系统2两端使其水平悬吊处于自由边界条件下测量内损耗因子ηs2。瞬态激励试验方案及试验设备如图1所示，子系统2体积较小，圆周环形均布了4×1个激励点，多点激励一点响应方式顺序多次激励，力传感器采集瞬态激励力信号，加速度传感器采集响应点加速度信号。

图1 瞬态激励试验方案及试验设备Fig.1 Transient excitation test scheme and test equipment

瞬态激励试验现场搭建如图2所示，首先锤击分布在子系统2圆周面上一激励点，以触发激励方式开始采样，采样频率20 kHz采集8 192个连续数据点，加速度传感器采集响应信号经电荷放大器、数据分析仪通道传输到分析软件提取响应点加速度数据，导入MATLAB软件消除直流分量、50 Hz工频项等信号数据预处理，如图3所示。

图2 瞬态激励试验现场布置图Fig.2 Transient excitation test site layout

图3 子系统1响应点加速度时域信号Fig.3 Response point acceleration time domainsignal of the subsystem 1

以分析频带中心频率fc=1 000 Hz为例，通过1/3倍频程带通滤波截取各频段信号，经Hilbert变换得解析信号包络，对相应频段内包络解析信号幅值取对数lnAsn(t)如图4所示其衰减率δsn出现明显分段现象，根据式(1)、式(2)计算瞬态衰减包络曲线衰减率δsn再取算术平均值。

图4 解析响应信号包络取对数ln Asn(t)Fig.4 Parse the response signal envelope to takethe logarithm ln Asn(t)

按照上述瞬态激励试验过程，依次多次激励不同激励点分析相对应加速度响应求得平均子系统i内损耗因子ηsi。如图5测量数据显示可得出子系统i内损耗因子ηsi多分布在10-4～10-3量级且总体趋势随中心频率fc增大而降低。

图5 子系统i内损耗因子ηsiFig.5 The damping loss factors ηsiof subsystem i

2.2 子系统总损耗因子的测量

将子系统1与子系统2由4个螺栓紧固连接，两端自由悬吊，以子系统1总损耗因子测量过程为例，正如总损耗因子ηTs1试验测量图6所示，在子系统1圆周面布置4×4个激励点，同样多点激励一响应，依次瞬态激励子系统1上分布点，获取响应点数据，同测量子系统内i损耗因子ηsi过程。根据式(3)、式(4)分析计算子系统i总损耗因子ηTsi，如图7所示。

图6 子系统1总损耗因子ηTs1试验测量图Fig.6 The total loss factor ηTs1test instrumentationof subsystem 1

图7 子系统i总损耗因子ηTsiFig.7 Subsystem i the total loss factor ηTsi

正如图7测量数据所示子系统i总损耗因子同样分布在10-4～10-3量级且总体趋势是随中心频率fc增大而降低。根据稳态激励条件下功率流平衡方程[16]，只当子系统1受激励时

(17)

稳态内损耗因子ηsi作为总损耗因子ηTsi算术和的一部分， 子系统总损耗因子ηTsi总是大于子系统内损耗因子ηsi； 而根据瞬态激励条件下功率流平衡方程，只当子系统1受激励时

(18)

式中： 瞬态子系统总损耗因子ηTsi与内损耗因子ηsi不存在绝对大小关系， 须考虑子系统内损耗因子ηsi之间的参数大小。

2.3 子系统耦合损耗因子测量及理论预测对比

根据瞬态能量平衡方程式(13)、式(14)可知，耦合损耗因子的求解子系统振动能量比的获取是关键所在。由均值导纳法及经典机械导纳理论主要包括输入点导纳和传递点导纳，反映了单位力单点激励下结构上某点的振动响应特性。特定结构有其特定的导纳代表本身特性，在试验过程中，可以解除耦合独立测量，对于大多数机械结构，试验测量其子系统传递点导纳ysi远小于输入点导纳Ysi[17]，通过试验也证实了此理论，因此均值导纳法求子系统能量比式(5)、式(6)可简化为以子系统1为例说明，均值导纳的引入极大的简化试验的繁琐程度，子系统1与子系统2间用4个螺钉紧固连接，可视为多点连接的情况，仅仅通过依次激励子系统1螺钉连接处分布的4个激励点，测得响应点加速度响应信号，同时通过力传感器测得力信号，根据式(7)计算输入点均值导纳Ysi。

(19)

(20)

表1 子系统耦合损耗因子计算参数

在理论分析圆柱壳体的耦合损耗因子时，须考虑曲率对其的影响，以环频率fr为分析圆柱壳体耦合损耗因子临界频率点。环频率之前，输入点均值导纳随频率增大，环频率之后，输入点均值导纳趋于稳定，理论预测圆柱壳体输入点导纳YLi[18]表达式

(21)

(22)

(23)

(24)

式中：CL为子系统纵向波速；hi为子系统i壳体厚度；Mi为子系统i弯曲刚度。

根据表1子系统参数及式(21)～式(24)理论预测输入点均值导纳YLi， 并与试验测量值Ysi对比如图8所示， 瞬态激励条件下测量的1/3倍频程中心频率fc的子系统输入点均值导纳Ysi总体趋势沿着理论预测值YLi趋势上下波动，验证输入点均值导纳瞬态试验测量的正确性。

最后将瞬态试验测得均值导纳值Ysi与理论预测值YLi代入由瞬态能量平衡方式推导的系统耦合损耗因子η12，η21表达式(15)、式(16)计算结果如图9、图10所示。

图8 子系统i输入点均值导纳试验与理论预测值对比图Fig.8 The average admittances of input point the lossfactors between test and theory of subsystem i

图9 瞬态试验与理论预测耦合损耗因子η12Fig.9 The coupling loss factors η12betweentransient test and theory predicting

图10 瞬态试验与理论预测耦合损耗因子η21Fig.10 The coupling loss factor η21betweentransient test and theory predicting

根据瞬态试验测得1/3倍频程分析中心频率fc耦合损耗因子η12，η21与理论预测结果相对比，上下波动趋势保持一致，平均误差小于5 dB，验证了瞬态激励条件下测量耦合损耗因子试验理论的可行性。

3 结 论

本文提出了瞬态条件下利用均值导纳和瞬态能量平衡方程预测耦合损耗因子的试验方法，并通过理论对比验证了该方法的可行性，得到以下结论：

(1) 该方法试验验证了瞬态激励条件下利用均值导纳法和瞬态能量平衡方程预测耦合损耗因子的试验理论的合理性，克服了传统稳态激励条件下，试验不易进行且过多引入传统统计能量分析的假设条件等不足。

(2) 瞬态激励试验过程可充分利用瞬态衰减法、均值导纳法的快速、简便的优势并避免了稳态激励试验过程中随时间变化的响应信号便宜而产生的较大误差。

(3) 鉴于瞬态激励下的耦合圆柱壳体振动特性复杂，为了避免随机误差造成的1/3倍频程分析带宽中心频率处的统计能量参数值产生较大波动，采用多次测量取平均值的方式能够有效提高试验分析的精度。

(4) 该方法可以高效、高精度的预测耦合损耗因子，为高速数控机床电主轴统计能量分析模型振动系统初步设计及主动控制系统响应提供有效数据参考。