时间尺度上二阶Emden-Fowler型延迟动态方程的振动性

杨甲山

(1.梧州学院 大数据与软件工程学院, 广西 梧州 543002;2.梧州学院 复杂系统仿真与智能计算实验室, 广西 梧州 543002)

振动作为一种物理现象,广泛存在于自然科学和工程技术中,如控制系统中的自激振动,同步加速器中波束的振动,化学反应过程中的复杂振动等等,这些现象可以统一为方程的振动理论。基于这些实际应用背景,本文讨论时间尺度上一类二阶非线性Emden-Fowler型延迟泛函动态方程

[A(t)φ1(y△(t))]△+b(t)φ1(y△(t))+
P(t)f(φ2(x(δ(t))))=0,t∈T

(1)

的振动性,这里y(t)=x(t)+B(t)g(x(τ(t))),φ1(u)=|u|λ-1u,φ2(u)=|u|β-1u,λ>0,β>0为实常数;T为任意时间尺度,A(t),B(t),b(t),P(t)∈Crd(T,R),即A(t),B(t),b(t),P(t)均为定义在T到R上的实值rd-连续函数,τ(t),δ(t)均为定义在T到T上的滞量函数,g(u),f(u)∈C(R,R),且ug(u)>0(u≠0),uf(u)>0(u≠0)。为了方便,考虑如下假设:

(H2): 0≤B(t)<1;b(t)≥0;P(t)>0.

(H3): 存在常数0<η≤1和L>0,使得g(u)/u≤η(u≠0),f(u)/u≥L(u≠0)。

(H4):A(t)>且-b/A∈R+。

我们将考虑以下2种情形

(C1)

和

(C2)

关于时间尺度上中立型阻尼动态方程的振动性研究,目前已有一些成果,见文献[1-18]。如Saker等[3]运用Riccati变换技术和时间尺度上的微积分理论,研究了二阶非线性阻尼动态方程

(r(t)x△(t))△+p(t)(x△σ(t))γ+q(t)f(x(σ(t)))=0(t∈T)

的振动性并得到了该方程振动的几个充分条件。Erbe等[4]研究了具阻尼项的二阶非线性动态方程

[r(t)(x△(t))γ]△+p(t)(x△σ(t))γ+q(t)f(x(τ(t)))=0(t∈T)的振动性,得到了上述方程的一些振动准则,推广并改进了已有的一些结果。Chen等[5]研究了时间尺度上二阶动态方程

[(x△(t))γ]△+p(t)(x△(t))γ+q(t)f(xσ(t))=0(t∈T)

(这里γ是2个正奇数之比),给出了该方程振动的一些充分条件。

张全信等[6-9]利用时间尺度上的有关理论及Riccati变换技术,研究了二阶半线性阻尼动态方程

(a(t)|x△(t)|γ-1x△(t))△+p(t)|x△(t)|γ-1x△(t)
+q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0(t∈T)

(2)

的振动性(这里γ>0为常数),得到了该方程振动的一些非常有意义的结果。孙一冰等[10]借助时间尺度上的有关理论及Riccati变换技术,研究了二阶半线性中立型阻尼动态方程

(a(t)|z△(t)|γ-1z△(t))△+p(t)|z△(t)|γ-1z△(t)
+q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0(t∈T)

(3)

的振动性(其中z(t)=x(t)+r(t)x(τ(t))，γ>0为常数),得到了该方程的一些振动准则,改进并推广了文献[6-8]的结果。但有限制性较强的条件“τ=δ且τσ=στ”。

显然,方程(1)更具有一般性。当g(u)=u,f(u)=u且λ=β时,方程(1)就简化成(3);当r(t)≡0时,方程(3) 就简化成(2)。因此,研究方程(1)的振动性是非常有意义的。本文将在条件较为宽松的情况下,利用时间尺度上的动态方程的基本理论和广义的Riccati变换,并借助时间尺度上的Hölder不等式及其它不等式和分析技巧,研究方程(1)的振动性,得到了该方程几个新的振动准则,改善了对方程的一些限制条件,推广、改进并丰富了一些已知的结果。

由于我们感兴趣的是方程解的振动性,所以本文假设时间尺度T是无界的,即supT=+∞。关于方程(1)的解及其振动性的定义可参考文献[1，6]。本文仅关注方程(1)的不最终恒为零的解。

1 几个基本引理

以下给出几个引理。

引理1[2]若x(t)是△-可微的且最终为正或最终为负时,则

(4)

引理2[2]如果g∈R+,即g(t)∈Crd(T,R),并且对于任意的t∈[t0,+∞)T,满足1+μ(t)g(t)>0。则初值问题y△(t)=g(t)y(t),y(t0)=y0∈R在[t0,+∞)T上有唯一的正解eg(t,t0),这个“指数函数”有时也记为eg(.,t0),它满足半群性质eg(a,b)eg(b,c)=eg(a,c)。

引理5[12](时间尺度上的Hölder不等式) 设a,b∈T且a

引理6[13]设(H1)-(H4)及(C1)成立,若x(t)是方程(1)的一个最终正解,则存在t1∈[t0,+∞)T,使得当t∈[t1,+∞)T时,有y(t)>0,y△(t)>0,A(t)φ1(y△(t))>0,[A(t)φ1(y△(t))]△<0且x(t)≥[1-ηB(t)]y(t)。

2 方程的振动准则

定理1设(H1)-(H4)及(C1)成立,如果存在函数φ∈C1(T,(0,+∞)),使得当λ≤β时,有

(5)

当λ>β时,有

(6)

证明不失一般性,设方程(1)在[t0,+∞)T上有一个最终正解x(t)(若x(t)为最终负解时类似可证),则存在t1∈[t0,+∞)T,当t∈[t1,+∞)T时,x(t)>0,x(τ(t))>0,x(δ(t))>0。从而y(t)>0。由方程(1)得

[A(t)φ1(y△(t))]△+b(t)φ1(y△(t))≤
LP(t)[x(δ(t))]β<0,t∈[t1,+∞)T，

(7)

根据引理1的结果,可得

(8)

事实上,由式(4)及引理6,当β>1时,有

βy△(δ(t))δ△(t)(y(δ(t)))β-1

当0<β≤1时,有

βy△(δ(t)δ△(t)(y(δ(σ(t)))β-1

这就证明了式(8)。

由引理6知,当t1∈[t0,+∞)T时,有

y(δ(t))≤y(δ(σ(t))),A(δ(t))(y△(δ(t)))λ≥A(t)(y△(t))λ≥A(σ(t))(y△(σ(t)))λ

由此得

(9)

定义广义的Riccati变换

(10)

则w(t)>0(t∈[T0,+∞)T)。 下面分两种情形λ≤β和λ>β来讨论。

情形(a) 当λ≤β时， 一方面,如果β>1,注意到式(7)～式(9)及引理6, 则有

(11)

另一方面,如果0<β≤1,注意到式(8)中的第2个不等式,按相同的方法,可得到完全相同的上式。将式(10)应用于式(11)中,就有

w△(t)≤Lφ(t)P(t)[(1-ηB(δ(t)))]β+

(12)

又由于y(t)>0,y△(t)>0,所以存在常数a>0,使得y(δ(σ(t)))≥α,t∈[t,+∞)T,从而由式(12)得

(13)

将引理3中的不等式用于式(13),得

LP(t)[1-ηB(δ(t))]βφ(t)≤-w△(t)+

(14)

将式(14)两边积分,得

(15)

这与式(5)矛盾!

情形(b) 当λ>β时。与情形(a)一样,无论β>1还是0<β≤1,式(11)总是成立的。注意到式(10),则有

由引理6知,当t∈[t1,+∞)T时,存在k>0使得A(σ(t))(y△(σ(t)))λ≤A(t1)(y△(t1))λ=kλ,由此得[y△(σ(t))](β-λ)/β≥k(β-λ)/β[A(σ(t))](λ-β)/βλ.从而

(16)

于是,将引理3中的不等式用于上式,得

LP(t)[1-ηB(δ(t))]βφ(t)≤w△(t)+

将式(17)两边积分,得

(17)

这与式(6)矛盾。定理证毕。

注1为了使得到的结论更加简洁,可以将定理1中的条件式(5)和式(6)合成一个式子:

(18)

式中：常数γ1=min{1,β/λ},γ2=min{λ,β},α如定理1。

注2当方程(1)中λ=β=γ,B(t)≡0,f(u)=u时,条件式(18)(或条件式(5))即为文献[6]中的条件(4.1),即定理1的结论包含了文献[6]中的定理4.1此外,由定理1证明中所得的式(14)式(或者式(17))同样可得到方程(1)的Kamenev型振动准则(如文献[6]中的定理4.2),为节省篇幅,在此就不赘述了。若定理1中的条件式(5)或式(6)(即式(18))不成立时方程(1)就有如下的振动准则。

定理2设(H1)-(H4)及(C1)成立,如果存在函数φ∈C1(T,(0,+∞),ξ1(t),ξ2(t)∈Crd(T,R)，使得对u≥t1≥t0,有

(19)

(20)

并且

(21)

证明不失一般性,设方程(1)在[t0,+∞)T上有一个最终正解x(t)(若x(t)为最终负解时类似可证),则存在t1∈[t0,+∞)T,当t∈[t1,+∞)T时,x(t)>0,x(τ(t))>0,x(δ(t))>0。

当λ≤β时。此时γ1=1,γ2=λ,同定理1的证明可得式(13)和式(15)两式。于是由式(15),对t≥u≥t1,有

所以

ξ(u)-θξ2(u)≤L-1w(u),u≥t1≥t0

(22)

同时, 对式(13)两边积分,得

将式(19)用于上式,则有

(23)

式中：常数C1=w(t1)-Lξ1(t1)。于是,由式(23)我们断定下式成立:

(24)

则由式(23)知,必有

(25)

这样一来,对足够大的正整数n,有

所以,由上式,对任意的正数ε∈(0,1)以及足够大的正整数n,有

(26)

另一方面,利用引理5(即时间尺度上的Hölder不等式),可得

分别利用式(26)和(20),由上式则进一步可得

这与式(25)矛盾。所以式(24)成立。于是,分别利用式(22)和(24),可得

<+∞

这与式(21)矛盾。

当λ>β时。此时γ1=β/λ,γ2=β,由定理1证明所得到的式(16)和(17),完全类似于上面的证明,略。

定理证毕。

(27)

(a)y△(t)>0,t∈[t1,+∞); (b)y△(t)<0,t∈[t1,+∞)T

情形(a)：y△(t)>0,t∈[t1,+∞)T。同定理1的证明,可得到一个与式(18)矛盾的结果(即在λ≤β或λ>β时分别得到一个与式(5)或式(6)矛盾的结果)。

(28)

注意到0

(29)

因y△(t)<0,由式(4),容易得到

(30)

令

(31)

则ω(t)<0(t∈[t1,+∞)T)。注意到式(31),由式(29)可得

-1≤ω(t)θλ(t)≤0

(32)

当0<λ≤1时: 由式(31),并分别注意到式(30)的第2个式子及y△(t)<0,就有

(33)

当λ>1时: 注意到式(30)的第1个式子及y△(t)<0,容易推得式(33)仍然成立。

利用式(28),并注意到,得

x(t)=y(t)-B(t)g(x(τ(t)))≥y(t)-ηB(t)x(τ(t))≥

因此

(34)

若λ>β,则由y(t)>0,y△(t)<0(t∈[t1,+∞)T)知,y(t)≤y(t1),所以yβ-λ(t)≥yβ-λ(t1)=k。

若λ=β,则yβ-λ(t)=1。

yβ-λ(t)≥kθβ-λ(t)(k=M(β-λ)/λ>0是常数)。

综上所述,由式(34)及π(t)的定义,有

(35)

将式(35)式代入式(33),可得

(36)

利用式(32),就有

这与式(27)矛盾, 定理证毕。

结合定理2和定理3,则有

注3 文献[6]中的定理4.3及定理4.4(其它文献[9]中的定理4.3及定理4.4,文献[10]中的定理3、5等)只能得到相应方程的“每一个解或者振动或者收敛于零”的结论,不能明确方程的振动性,而本文定理3和定理4得到了方程振动的确定性结论。

3 例子和应用

例1考虑时间尺度上的二阶Emden-Fowler型动态方程:

从而

所以条件(H1)-(H4)及(C1)均满足。考虑到λ<β,并φ(t)=1,则

即条件式(5)满足,因此定理1的条件全部满足,于是由定理1知,方程(E1)是振动的。

注4由于方程(E1)是非线性的且α≠β,因此最近文献[3-11,14-17]等中的结果都不能用于方程(E1)。

例2考虑二阶Euler微分方程

(E2)

式中：常数q0>0。令A(t)=t2,b(t)=0,B(t)≡0,P(t)=q0,τ(t)=δ(t)=t,f(u)=u,λ=β=1,t0=1.显然条件(H1)-(H4)和(C2)都满足。取φ(t)=1,注意到T=R及e-b/A(t,t0)=1,我们有

当q0>1/4时,

且

所以定理3的条件全部满足,于是当q0>1/4时Euler微分方程(E2)是振动的，这与众所周知的结果完全一致。

4 结 论

本文讨论了时间尺度T上一类二阶非线性中立项阻尼动态方程的振动性,得到了方程解振动的几个新的判别准则,这些结果反应了阻尼项和中立项及延迟项在振动中的影响作用,这些重要的结论为解决自动控制技术、生物种群动力学、伺服力学、物理学(如量子理论和核物理等方面)、神经网络以及经济学等领域的实际问题提供了数学理论依据和科学基础。