基于一阶剪切变形理论FGM梁自由振动的改进型GDQ法求解

蒲 育， 滕兆春

(1. 兰州工业学院 土木工程学院， 兰州 730050； 2. 兰州理工大学 理学院， 兰州 730050)

众所周知，新型材料梁的动力学特性在工程领域有十分重要的意义和广泛的应用背景。功能梯度材料(FGM)作为一种新型的非均匀复合材料，如今应用FGM的研究已由最初的耐高温热应力缓和型材料扩大到机械、电子信息、光学、核能、生物及土木工程等领域。FGM梁现已广泛应用于航空航天及其他工程领域，因而对FGM梁的动力学响应的研究显得尤为重要。因此，国内外许多学者从不同的角度大量研究了FGM梁的自由振动在工程中的应用。

Aydogdu等[1]基于不同梁理论并采用Navier法研究了FGM简支梁的自由振动。Li等[2]基于FSBT采用打靶法数值研究了FGM梁的自振问题，并根据微分方程解的相似性获得了FGM与各向同性材料欧拉-伯努利梁固有频率解析解之间的关系。Simsek[3]引入Lagrange乘子法处理边界条件，建立了各种梁理论下FGM固支梁、简支梁、悬臂梁自振的Lagrange频率方程。Vo等[4]采用FEM分析了FGM梁的弯曲及自由振动问题。Thai等[5]采用Navier法求解了各种高阶剪切梁理论下FGM简支梁的弯曲及自由振动。Nguyen等[6]基于FSBT同样采用Navier解法分析了FGM简支梁的弯曲、屈曲及自由振动问题。Pradhan等[7-8]采用Rayleigh-Ritz法分析了各种梁理论对FGM梁自振频率的影响。蒲育等[9]基于二维线弹性理论并采用二维DQM获得了Winkler-Pasternak弹性地基FGM梁自由振动的动态响应。最近，Kahya等[10]采用FEM数值研究了功能梯度FSBT梁的屈曲及自振问题。Simsek等[11]基于改进型偶应力理论及高阶剪切理论获得了FGM简支微梁弯曲和自振问题的Navier解法。Li等[12]采用非局部应变梯度理论，得出了尺寸效应影响下功能梯度CBT及FSBT梁的非线性弯曲和自由振动的解析解。此外，Ebrahimi等[13]应用DTM研究了FGM纳米梁的热机耦合振动。Luan等[14]基于各种梁理论并采用SSM得出了FGM梁自振基频的解析解。因此，学者们目前对于FGM梁力学行为的研究大多基于不同的梁理论、或采用不同的数值方法。

本文建立了以轴向位移、横向位移及转角为未知函数功能梯度FSBT梁自由振动方程。该方程耦合且较为复杂，获得解析解十分困难，因此，本文引入边界控制参数，统一编写了4种边界FGM梁自振的MATLAB程序，首次采用改进型GDQ法数值研究了4种边界FGM梁自振的频率特性。结果显示，改进型GDQ法具有易收敛、精度高、工作量小等优点，并且该分析方法对CBT梁及FSBT梁都行之有效，最后得出一些有益的结论。

1 控制微分方程及参数的无量纲化

建立如图1所示的坐标系：考虑一长宽高为L×b×h的金属-陶瓷功能梯度非均匀材料梁，其材料性质沿厚度方向呈梯度分布。梁的上表面为陶瓷，下表面为金属。弹性模量E，泊松比μ，密度ρ等物性参数均是坐标z的函数，用统一式可表示为：

(1)

图1 FGM梁几何尺寸Fig.1 Geometry of a FGM beam

式中：p为FGM的梯度指标。基于一阶剪切变形理论，FGM梁内任意一点t时刻沿x,y,z方向的位移分量分别为：

(2)

式中:u(x,t),w(x,t)表示t时刻轴线上点的轴向和横向位移，φ(x,t)表示t时刻梁截面绕y轴的转角。

非零应变分量为：

(3)

(4)

描述FGM梁自由振动的微分方程组为：

(5)

由式(3)和式(4)，FGM梁截面的轴力、剪力、弯矩内力分量可由位移分量分别表示为：

(6)

{u(x,t),φ(x,t),w(x,t)}={U(x),Ψ(x),W(x)}eiωt(7)

式中：i为虚数单位;ω为固有频率。

将式(6)及式(7)代入式(5)可得由位移分量所描述的FGM梁自由振动控制微分方程组为：

(8)

考虑以下四种梁的边界条件：

① 左端简支-右端简支(S-S)

x=0及x=L处：FN=Mb=W=0

(9)

② 左端固支-右端固支(C-C)

x=0及x=L处：U=Ψ=W=0

(10)

③ 左端固支-右端简支(C-S)

(11)

④ 左端固支-右端自由(C-F)

(12)

为简化边界条件，由式(6)可将力的边界条件表示为位移所满足的边界条件：

由式(9)～(12)表示的四种梁，从而边界条件均可由位移分量表示。

无量纲化如下：

(13)

式(13)中

(14)

将式(13)代入控制微分方程组(8)及位移分量描述的边界条件可得无量纲化控制微分方程及无量纲化边界条件。

无量纲化控制微分方程组：

四种梁的无量纲化边界条件：

① S-S梁

(16)

② C-C梁

(17)

③ C-S梁

(18)

④ C-F梁

(19)

2 改进型GDQ法的离散化及特征值问题

2.1 边界控制参数

应用GDQ法[15-16]离散C-C、C-S、S-S这三种梁的边界条件后统一可表示为：

(20)

式中：n0=0或1，n1=0或1，且定义

(21)

从而边界控制参数n0及n1表示的三种梁：

n0=0，n1=0表示C-C梁；

n0=0，n1=1表示C-S梁；

n0=1，n1=1表示S-S梁。

(22)

由GDQ法，式(22)代入下式可得

(23a)

上式中

(23b)

上式中

(23c)

式中:

2.2 改进型GDQ法的离散化

对于C-C、C-S、S-S这三种梁，采用改进型GDQ法，无量纲控制微分方程组(15)离散后为：

(25)

式中:i=2, 3, …，N-1

2.3 特征值问题

离散后的无量纲控制方程组式(25)构成了不同边界条件FGM梁自由振动的边值问题，该边值问题可用分块矩阵表示为：

[K]{X}-Ω2[M]{X}={0}

(26)

其中

由式(26)可得FGM梁自由振动的特征值问题：

[S]{X}-Ω2[I]{X}={0}

(27)

其中[S]=[M]-1[K]，[I]为3N-6阶单位阵。

3 计算结果与分析

通过设置边界控制参数的取值，采用改进型权系数矩阵，统一编写MATLAB程序可获得一阶剪切理论下C-C、C-S、S-S、C-F这4种FGM梁自由振动特征值问题式(27)的无量纲频率。

算例1：表1给出了当梯度指标p=0, 1, 2, 5, 10, 跨厚比L/h=5及20时，基于FSBT三种不同边界C-C、S-S及C-F功能梯度材料梁自由振动的无量纲基频。算例1中，FGM梁金属(Al)—陶瓷(Al2O3)材料的物性系数分别为Em=70 GPa，μm=0.3，ρm=2 702 kg/m3，Ec=380 GPa，μc=0.3，ρc=3 960 kg/m3，取节点数N=17，并将得到的数值结果与Simsek等的数值结果进行了比较。由表1可见：本文得出的结果与其非常接近，取较少的节点数便能满足精度所需，工作量小，说明了改进型GDQ法对于研究本问题的适用性与优越性。特别地，当跨厚比L/h=20时，此时可视为长梁；当跨厚比L/h=5时，此时可视为短梁。因此，本文的分析方法对长梁和短梁自由振动分析都行之有效。

算例2：表2给出了当梯度指标p=1, 跨厚比L/h=5, 10, 20, 30, 50, 100时，基于CBT及FSBT两种梁理论在三种不同边界C-C、C-S及C-F下FGM梁自由振动的无量纲基频。算例2中，FGM梁材料的物性系数分别为Em=210 GPa，μm=0.23，ρm=7 800 kg/m3，Ec=390 GPa，μc=0.23，ρc=3 960 kg/m3，取节点数N=17，由表2可见：本文得出的数值结果与Pradhan等的研究结果比较接近。由表2不难看出：CBT梁的基频高于FSBT梁的基频，这是因为CBT梁忽略了横向剪切变形的影响。跨厚比L/h对C-C、C-S及C-F边界FGM梁的基频均有影响。并且，值得注意的是：与Pradhan等采用Rayleigh-Ritz法得出的数值结果相比较，本文CBT梁得出的基频更为接近FSBT梁得出的基频。

算例3：图2～图6则刻画了FGM梁边界条件、梯度指标、跨厚比对FGM梁自振频率的影响。其中FGM梁的物性系数取值与算例1中相同。图2给出了FGM梁的梯度指标p对C-C梁、C-S梁、S-S梁及C-F梁无量纲基频的影响。显然，梯度指标p=[0,10]范围内，这4种边界FGM梁的基频Ω1都随梯度指标p的增大而减小。这是因为随着梯度指标p的增大，梁中陶瓷的成分减少，因此梁的整体刚度减小了。且由图2可见：在相同的参数下，基频由大到小的顺序为C-C梁、C-S梁、S-S梁、C-F梁。这与事实相符，即约束较强，频率则较高。

图3反映了跨厚比L/h对4种边界FGM梁基频Ω1的影响。由图3可见：当L/h<20，C-C梁、C-S梁、S-S梁的基频Ω1都明显随L/h的增大而增大，当L/h>20，L/h对基频Ω1的影响不大。特别地，L/h对C-F梁基频Ω1的影响最为不明显，而这方面相关报道的文献较为少见。因此，对C-C梁、C-S梁、S-S梁而言，L/h对短梁自振频率影响显著，L/h对长梁自振频率影响不明显。

图4反映了5种梯度指标下L/h对C-S边界FGM梁基频Ω1的影响。显然，当L/h<20，对于不同的梯度指标p，Ω1都明显随L/h的增大而增大。当L/h>20，L/h对基频Ω1的影响不大。

图5则反映了CBT与FSBT两种梁理论模型下C-C边界FGM梁L/h对前三阶无量纲频率的影响。由图5可见：CBT与FSBT预测FGM梁的频率较为接近，但CBT预测的频率高于FSBT预测的频率。且随阶数的增加，CBT与FSBT预测的频率差别将显著增大。因此，研究短梁需要考虑横向剪切变形的影响。而且，在梁的高频振动研究中，两种梁理论对频率的预测相差更大。

图6反映了S-S边界FGM梁的梯度指标p及跨厚比L/h对基频Ω1的影响。显然，对于不同的跨厚比L/h，Ω1都随p的增大而减小。且由曲线的疏密程度可见，L/h对短梁频率影响较大，而对长梁频率影较小。

表1 FGM梁在不同边界下自由振动基频的结果比较

表2 两种不同梁理论下FGM梁自由振动无量纲基频的结果比较(p=1)

图2 不同边界下FGM梁的基频Ω1与梯度指标p之间的关系曲线( L/h =5)Fig.2 The fundamental frequency parameter Ω1ofFGM beams versus p for different boundary conditions

图4 C-S边界FGM梁的基频与跨厚比的关系曲线Fig.4 The fundamental frequency parameter Ω1ofC-S FGM beam versus L/h ratio for different graded index

图5 两种梁理论下C-C边界FGM梁的前三阶频率与跨厚比L/h之间的关系曲线(p=1)Fig.5 The first three frequency parameters of C-C FGMbeam versus L/h ratio for two different beam theories

图6 S-S边界FGM梁的基频与梯度指标p的关系曲线Fig.6 The fundamental frequency parameter Ω1ofS-S FGM beam versus graded index p for different L/h ratio

4 结 论

首次采用改进型GDQ法获得了4种FGM梁自振问题的数值解。且结果表明：

(1) 本文与已有文献结果非常接近，说明该分析方法对FSBT及CBT这两种理论FGM梁自由振动分析都行之有效，且具有编写计算程序简单，可操作性强，工作量小等优点。

(2) 约束较强，频率则较高；频率随梯度指标的增大而减小；跨厚比对短梁自振频率影响显著，对长梁自振频率影响不明显。

(3) CBT预测的频率高于FSBT预测的频率，因此研究短梁需要考虑横向剪切变形的影响，且在高频振动研究中，两种梁理论对频率的预测相差更大。