锁定状态下一维可展桁架球铰连接刚度识别

周李真辉， 曹芝腑， 姜 东,3， 董萼良， 费庆国

(1. 东南大学 空天机械动力学研究所， 南京 211189； 2. 东南大学 工程力学系， 南京 210096；3. 南京林业大学 机械电子工程学院， 南京 210037)

可展开结构广泛应用于航空、航天等领域[1]，比如可展开天线、一维伸展臂、太阳能帆板[2-5]等。为了实现折叠和展开功能，可展开结构中使用了大量的铰链[6]，其连接刚度对展开锁定状态下结构的模态参数具有决定性影响。确定可展开结构球铰连接刚度，对可展开结构动力学建模与响应预示至关重要。

对于铰接连接刚度的研究，国内外学者做了很多工作：宋伟力等[7]以动柔度矩阵特征方程为基础，应用特征方程反问题的方法，由界面位移求得界面内力，由此确定了连接部位的刚度参数；杨炳渊等[8]以太阳电池板间铰链为研究对象，采用特征方程反问题的直接方法结合试验模态数据，辨识出了铰链副的刚度参数；吴远波等[9]通过试验测定铰链机构刚度并将其带入有限元模型中，然后与试验结果进行对比，从而确定了铰链机构的等效刚度值；邱丽芳等[10]提出了一种新型平面折展机构柔性铰链，并分别利用等效法和微分法推导出该铰链的两个等效刚度的计算公式；Li[11]应用降阶特征多项式的方法结合结构的固有频率，辨识出结构的铰链连接刚度，并通过有限元模型进行了验证；Fasse[12]针对切口铰链，通过有限单元法研究了其六向自由度连接刚度特性；Lobontiu等[13]通过卡式第一定理推导出倒圆角柔性铰链的闭合式的连接刚度等式，并与有限元仿真及试验结果进行了对比，验证了连接刚度值的准确性。

动力学模型修正技术目前已经广泛的应用于参数识别领域。Friswell等[14-17]对设计参数型有限元模型修正的各个方面进行了深入研究，包括修正参数的选择、修正方程的求解等；费庆国等[18-20]在传统的应用于线性、低频的设计参数型模型修正技术的基础上，结合神经网格及统计学方法，将模型修正技术推广到非线性领域，且研究了不同目标残差对于模型修正结果的影响；姜东等[21-22]进一步地将确定性的有限元模型修正技术拓展到考虑不确定性的结构动力学模型修正中。

本文以某一维可展桁架为对象，利用模型修正技术实现了球铰连接刚度的识别。通过六向刚度弹簧单元模拟锁定状态下可展开结构的球铰连接，用有限元接触计算的方式获得其初始的等效六向刚度值，然后利用试验数据结合动力学模型修正技术对模型进行修正，最终识别出球铰连接的刚度值。

1 一维可展桁架

本文研究的一维可展桁架由支撑臂、角节点及拉索等部件组成，竖杆两端通过球铰与角节点铰接在一起，其展开单元结构如图1所示，将若干个展开单元进行组合，得到整体的一维可展桁架。

图1 一维可展桁架展开单元Fig.1 Single deployable mast

1.1 可展桁架球铰连接及其锁定状态

球铰连接模型如图2所示。球铰机构集活动机构副功能与连接功能于一体，间隙、滑移和弹性接触等诸多因素将导致铰链刚度具有一定的非线性。非线性与连接紧密程度等相关，表现为与载荷幅值、频率的相关性，在理论分析、数值计算上存在难度。本文研究自由振动状态下，适用于工程应用的铰链连接刚度识别方法。

图2 球铰连接模型Fig.2 Spherical hinge model

图1给出了展开单元的组成部件及展开过程，由于拉索及球铰等的同时存在，增加了结构动力学分析的复杂性。考虑到本文研究的重点是可展开结构的球铰连接刚度值，而球铰刚度主要影响的是展开锁定状态下的可展开结构的动力学特性，因此对图1中上部的4个两侧角节点进行镜像处理，如图3所示，这样上下两层的角节点安装后的开口角度就变成一致的，导致竖杆无法在上下球铰端形成相反的可转动方向，即可实现结构自锁定，本文研究中不考虑拉索、驱动装置等，如图4所示为展开锁定状态。

1.2 连接刚度

图5是锁定状态下的展开单元简化示意图，竖杆H与上下刚性平面G之间通过球铰连接，将单个球铰简化为具有6向刚度的弹簧连接元[8,23]，其位移矢量为:

{δ}e=[uvwθuθvθw]

(1)

作用在连接元节点上的力矢量为：

{P}e=[pupvpwpθupθvpθw]

(2)

图3 角节点镜像处理Fig.3 The symmetry processing of corner node

图4 简化型可展开结构Fig.4 Simplified single deployabletruss

图5 结构简化示意图Fig.5 Sketch map of simplified structure

可以将连接元视为通过3个拉压弹簧以及3个转角弹簧连接对应的两个部件的6对自由度。弹簧的刚度分别为ku、kv、kw、kθu、kθv、kθw。

设上述弹簧为线性弹簧，则节点力和节点位移有如下关系：

{P}e=[K]e{δ}e

(3)

式中:[K]e为连接元的单元刚度矩阵，如式(4)。显然，矩阵[K]e的第j列元素应等于{δ}e中第j个分量为1，其余分量为0时的力矢量{Pj}e。因此，分别令{δ}e中的某一分量为1，其余分量为0，列出位移方程和平衡方程，即可解出对应{Pj}e，即[K]e的对应各列元素。

(4)

2 展开结构单元模态试验

吴远波等提出了一种试验直接测量太阳电池铰链机构刚度的方法，但是需要设计专门的夹持及测量装置，实施起来有一定的难度。本文选用锤击法测量展开单元的模态参数，并基于此对有限元模型进行模型修正，从而获得准确的球铰连接刚度值。

对于一维可展桁架球铰这样比较复杂的系统来说，直接测量和识别其动刚度是很困难的，工程应用中一般要做进一步的简化。此外，可展开结构主要的工作状态是处于球铰锁定的情况下，其频率也主要由球铰锁定后的刚度决定，因此本文针对可展开结构在展开锁定时的球铰连接刚度进行识别研究。可展开结构展开单元在锁定状态下的锤击模态试验布置方案如图6所示。利用弹性绳将结构悬吊以模拟自由状态，选择单点拾振法进行测量。利用仿真预分析，最终选取了16个激振点，其中第9号点为拾振点，激励及测量方向均为Y向。采用数据采集及分析系统对16个激振点的振动响应进行采集和频响分析，识别得到展开单元在锁定状态下的前5阶固有频率如表1所示。

图6 试验布置图Fig.6 Experimental arrangement

模态阶次12345固有频率/Hz26.2333.8791.04102.76234.41

3 球铰刚度识别及结果验证

利用有限元模型修正技术对球铰连接刚度进行识别。首先建立可展开结构展开单元的精细化有限元模型，根据刚度定义，利用接触分析获得六向刚度初值。然后，将初值带入展开单元的参数化有限元模型，结合自由模态试验数据进行模型修正，识别铰链连接刚度值。最后，利用三个展开单元组成的可展开结构的参数化模型进行识别结果的验证与确认。具体流程如图7所示。

图7 连接刚度识别流程图Fig.7 Flow chart of identification of connection stiffness

3.1 球铰刚度初值

使用六向刚度弹簧单元模拟可展开结构球铰连接，利用有限元接触分析的方式获得其初始的刚度值。采用实体单元建立展开单元精细化有限元模型，如图8所示。

图8 可展开结构单元精细有限元模型Fig.8 Elaborate FEM of single deployable mast

考虑到可展开结构的对称性及计算效率，有限元接触分析时只考虑1/8整体结构，将竖杆球铰端与角节点连接处定义为接触，如图9所示，其余部分采用节点重合的方式进行有限元建模。忽略球铰动刚度中与频率的相关项，仅研究其静刚度。令球铰沿给定方向(x,y,z,θx，θy，θz)发生位移，利用接触分析获得相应节点的接触反力，两者的比值即为该向的初始刚度值。图10表示的是球铰端绕x轴转动一定角度的简单示意图，将1点固定，同时使2点沿y向产生给定位移，此时，相当于绕x轴转动单位角度θ=1°，同时，3点会产生相应的反力f。因此，K4的值可由式(5)获得。同理，有限元接触分析得到的六向刚度值，如表2示。

K4=f×H/θ

(5)

图9 1/8精细化有限元模型Fig.9 Eighth elaborate FEM of single deployable truss

图10 绕x轴转动示意图Fig.10 The sketch map of x-rotation

K1/(N·m-1)K2/(N·m-1)K3/(N·m-1)K4/(N·m·rad-1)K5/(N·m·rad-1)K6/(N·m·rad-1)初始值6.4×1066.2×1066.2×106376.4331.10

3.2 参数识别

采用模型修正方法进行铰链刚度识别。模型修正实质上是一个结构优化的反问题，包含了优化设计中的三个要素：设计变量、目标函数和约束条件。设计变量是表征设计的一组可选择的参数。假设结构的有限元模型共有n个设计参数，其中前m个为待修正的参数，则设计变量可以表示为[24]：

(6)

式中：En表示n维欧氏空间。

结构的总体刚度阵和质量阵可以用设计变量p的函数表达：

(7)

对应的特征量可以表示为设计变量的函数：

f=F(K,M)=F(fk(p),fM(p))=fp(p)

(8)

式中：f可以是任意的特征量，如模态频率、模态振型等，或者它们之间的组合。至此，模型修正问题就转化为如下的优化问题：

min‖WfR(p)‖2,R(p)={fe}-{fp(p)}

s.tVLB≤p≤VUB

(9)

式中：fe和fp(p)分别代表结构动态特性的试验值与分析值；R(p)称之为残差项；VLB、VUB分别代表结构设计变量变化的上下限；Wf代表结构各个特征量之间的加权矩阵。

一般地，fp(p)为设计变量的非线性函数。为了将非线性的问题转化为线性问题，在初始设计点将fp(p)展开成待修正参数的一阶泰勒表达式：

fp(p)=fp(p0)+SΔp

(10)

式中：po是设计参数初始的大小。

(11)

代表特征量对设计参数的灵敏度矩阵。Δp=p-po代表设计变量的误差。

利用拉格朗日乘数法，可将修正问题转化为如下的线性问题：

WfSΔp=Wf(fe-fp(p0))

(12)

式(12)就是常见的模型修正方程，且是一个迭代优化的过程。本文模型修正选取的待修正设计变量即为球铰连接的六向刚度值，特征量为模态频率，目标函数是试验频率与仿真频率残差值最小。

由上节的接触分析得到了球铰的初始连接刚度值，但是因为仿真模型与真实结构之间存在误差，导致连接刚度值与真值之间有偏差，因此需要通过模型修正技术对有限元模型进行修正。选用梁单元建立可展开结构的简化模型，如图11所示，同时在8个角端使用六向刚度弹簧单元进行连接，将上节得到的刚度值作为修正初值。由于简易有限元模型已经忽略了实际结构角端的几何特征了，因此必须得在8个角端加上集中质量，同时，由于结构本身的重量较轻，仿真时，试验测量时使用的单向加速度传感器的质量不能忽略，在与实际测量相对应的246节点处额外添加集中质量。表3给出了模型的部分材料属性及几何参数。

图11 简化有限元模型Fig.11 Simplified FEM of single deployable mast

名称数值长宽高0.297 m×0.297 m×0.276 m集中质量0.046 kg/0.093 kg密度2840.82 kg/m3弹性模量6.89×1010Pa

分析上节有限元接触分析的结果可以发现，球铰连接的三个平动刚度的值相差不大，因此在修正中可以选为一个参数Ke=K1=K2=K3进行修正，同时注意到K6的接触分析计算值为0，但是将这个值作为初值带入有限元模型中会导致计算错误，因此，可将K6刚度值取为1作为修正初值。最终，本文的参数识别使用了5阶固有频率及对应振型，同时选择了4项待修正参数。修正参数变化率，如图12所示。

图12 修正参数变化率Fig.12 Rate of corrected parameters changing

图12中：Ke是对应于x，y，z三个方向的等效平动刚度值，K4、K5、K6是分别对应于x，y，z三个方向的转动刚度值。修正前后的参数值如表4所示，可以看到，有限元接触分析得到的连接刚度值是不够准确的，三个平动的刚度值较低，而转动刚度值较高。观察修正结果,K4、K5的值基本相同，而K6的值趋近于0，这与实际结构中，展开单元是关于Z轴对称的，且球铰绕Z轴的转动不受约束的实际情况是相符的。修正前后固有频率误差率变化和固有频率值如图13和表5所示。

表4 修正前后修正参数值Tab.4 Parameters before and after model updating

图13 固有频率变化率Fig.13 Rate of natural frequency changing

试验值/Hz修正前/Hz误差率/%修正后/Hz误差率/%126.2329.4512.2826.972.82233.8735.554.9632.66-3.57391.0490.42-0.6888.81-2.454102.76104.161.36101.96-0.785234.41245.964.93239.232.06

图14 修正后振型匹配图(试验振型—，仿真振型—·—)Fig.14 Match of vibration mode after model updating(experimental vibration mode—,simulated vibration mode—·—)

图14给出了修正后振型与实际振型的匹配结果。由图13观察曲线变化可知，迭代25次以后，所有的曲线变化趋于平稳，说明修正的结果收敛，由表5可知，修正后的结构的固有频率与试验实测值之间的误差都在4%以内，考虑到用梁单元建模时简化了很多实际结构的几何特征以及试验测量的偶然误差，这个误差率是可以接受的。同时，观察图14可以发现，修正后的结构的振型与试验测得结果也吻合的较好。

3.3 结果验证

为了验证球铰连接刚度识别值的准确性，将修正后的刚度值带入由三个可展单元组成的一维可展桁架的简化有限元模型中，计算结构固有频率，并与试验值进行对比。其中三个单元的自由模态试验如图15所示。激励方式及测量方向与一个单元相同，是Y向。

图15 三单元模态试验Fig.15 Model test of three bays

表6和图16分别表示固有频率匹配结果和振型匹配结果，由表6可以看到，将修正后的刚度值带入三个单元的有限元模型中，仿真获得的固有频率与试验实测值之间的误差在7%左右，图16所示为三单元可展开桁架结构试验与分析模态振型匹配图，可以看到仿真与试验的振型的匹配结果很好。注意到，相比于一个展开单元，三个单元角节点处的连接形式更为复杂，而使用梁单元建立的有限元模型中，仅考虑了质量上匹配，却忽略了连接处几何特征的影响，建模误差和试验误差的累计，导致三个单元结构频率的误差大于单个展开单元。

表6 固有频率匹配结果Tab.6 Match of natural frequencies

4 结 论

(1)本文通过六向刚度弹簧单元对锁定状态下的一维可展桁架球铰连接进行的线性等效处理，并结合动力学模型修正技术对球铰连接刚度进行识别，可以得出以下结论：经过有限元接触分析计算，可以获得球铰连接刚度的有效初值，为球铰连接刚度的准确识别及物理意义分析提供了参考。

(2)展开单元的修正结果显示K4与K5的值基本相同，而K6的值趋近于0，这与本文研究的单榀可展开结构是中心对称，且球铰绕Z轴的转动不受约束的实际物理意义相符。

图16 振型匹配结果图(试验振型—，仿真振型—·—)Fig.16 Match of vibration mode of three deployable masts(experimental vibration mode—,simulated vibration mode—·—)

(3)采用结构动力学模型修正技术并结合模态试验数据，识别了展开单元的连接刚度，并利用三单元可展桁架结构对识别结果进行验证，结果表明本文方法得到的识别刚度具有较高的准确性。