横看成岭侧成峰

陈荣烂

北宋诗人苏轼在《题西林壁》中写道：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.不识庐山真面目，只缘身在此山中.”庐山是座丘壑纵横、峰峦起伏的大山，游人所处的位置不同，看到的景物也各不相同.为什么不能辨认庐山的真实面目呢？因为身在庐山之中，视野为庐山的峰峦所局限，看到的只是庐山的一峰一岭一丘一壑，局部而已，这必然带有片面性.游山所见如此，观察世上事物也常如此.

解析几何解答题在江苏高考中看似变化不大，在六道解答题中处于中部位置，有一定的计算量，考查内容也基本稳定，但从细节分析，还是有很大区别的.

一、历年江苏高考解析几何解答题的情况分析

年份题号考查知识点求解内容

2010年18直线、椭圆轨迹方程、点坐标、定点坐标

2011年18直线、椭圆直线斜率、点到直线的距离、求证两直线垂直

2012年19直线、椭圆椭圆方程、直线斜率、定值

2013年17直线、圆直线方程、圆心横坐标范围

2014年17直线、椭圆椭圆方程、离心率

2015年18直线、椭圆椭圆方程、直线方程

2016年18直线、圆圆方程、直线方程、点的横坐标范围

2017年17直线、椭圆椭圆方程、点坐标

近几年江苏高考中解析几何的解答题以考查直线和椭圆的居多，今年亦是如此.在求解时，会用到点到直线的关系、两点之间的距離公式、两直线的位置关系、直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系、圆与圆的位置关系、对称性等知识点，要求学生熟练掌握并能灵活应用.

二、2017年江苏高考数学试题17的解法

题目如图所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l1l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.

（一）设点法

法1（1）x24+y23=1.

（2）由（1）知，F1（-1，0），F2（1，0）.

设P（x0，y0）x0>0，y0>0.

当x0=1时，l2与l1相交于F1，与题设不符.

当x0≠1时，PF1的斜率为y0x0+1，PF2的斜率为y0x0-1，

因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，

从而l1：y=-x0+1y0（x+1），l2：y=-x0-1y0（x-1），

则Q-x0，x20-1y0，

而点Q在椭圆上，得x20-1y0=±y0，

即x20-y20=1或x20+y20=1，

由x20-y20=1，x204+y203=1， 得x0=477，y0=377；

x20+y20=1，x204+y203=1 无解.

故点P477，377.

（二）设线法

法2（2）设l1：y=k1（x+1），l2：y=k2（x-1），

则PF1：y=-1k1（x+1），PF2：y=-1k2（x-1），

联立l1l2可得Qk2+k1k2-k1，2k1k2k2-k1，用-1k1代k1，用-1k2代k2，

可得Pk1+k2k1-k2，2k2-k1，

又因为P，Q都在椭圆上，则xQ=-xP，

由椭圆对称性得2k1k2k2-k1=2k2-k1或2k1k2k2-k1=-2k2-k1，得k1k2=1或k1k2=-1（不可能），

将k2=1k1代入可得Pk21+1k21-1，2k11-k21，代入椭圆方程可得k21=23±879，

而点P在第一象限，则k21>1，∴k21=23+879，且k1<0，∴k1=-4+73，得P477，377.

（三）对称法

法3（2）设P（x0，y0），x0>0，y0>0.

当0

当x0=1时，PF2⊥x轴，此时直线l1与l2的交点为F1，点F1不在椭圆上，不合题意.

当x0>1时，由椭圆对称性设Q（-x0，y0）.

1.利用两直线垂直的斜率关系

思路1因为QF1，则kQF1·kPF1=-y0x20-1=-1，

得x20-y20=1.

2.利用向量垂直

思路2因为QF1⊥PF1，

所以QF1·PF1=（-1+x0）·（-1-x0）+y20=0，

得x20-y20=1.

3.利用勾股定理

思路3因为QF1，所以QF21+PF21=PQ2，

可得x20-y20=1，

然后与法1相同，得点P477，377.

三、教学建议

（一）在解析几何教学中渗透数学思想方法

在上述的解法中，运用了分类讨论、数形结合、转化与化归思想，因此，在平时的解析几何教学中，要多注重渗透这些数学思想方法.一方面，培养学生严谨的治学态度；另一方面，也能让学生拓宽思路，在高考中不至于手忙脚乱，而是胸有成竹.

（二）从记中学向做中学和悟中学转变

数学思想方法是方法性知识，需要在做中学获得，解决的是会学的问题.悟中学获得价值性知识，解决的是乐学的问题.而记中学获得事实性知识，解决的是学会的问题.为此，需要厘清对于记中学和讲授法的误解和误用，更新知识观念，转变教学方式，优化知识结构，逐步形成做中学和悟中学的教学模型.做中学与悟中学，既是学生获得方法性知识和价值性知识的主要学习方式，也是需要不断培养的重要学习习惯和能力.

四、结束语

解析几何解答题在江苏高考中一般出现在17、18题的位置，是考生得分的关键所在，在得分上容易拉开差距，在答题时间上也能拉开距离.如果平时在课堂上多注重对学生解答解析几何试题的关注度，对在这部分内容上提高总体得分，会有更大收获，对培养学生良好的运算能力和学习习惯，会起到至关重要的作用.