初中数学二次函数中最值问题的思考研究

黄致和

【内容摘要】二次函数，在初中数学中是重点，但把它学好还是有一定的难度的，尤其是二次函数的最值问题让学生们学起来感觉非常吃力。即使感觉额外的吃力，但还是要非学不可，因为它在中考中必有它的身影。二次函数的最值问题，它会让学生的思维能力得到创新，在长期不断的训练中，解题技巧的能力也会不断地提高。函数知识的核心部分就是二次函数，在各种各样的考试中，它都是作为压轴出场的。本文结合自身教育多年的经验，借助于典型案例做出一定的分析，将学生解题能力的培养作为重点，将初中数学二次函数中最值问题的解题策略交予学生，为学生二次函数最值问题的学习提供参考。

【关键词】初中数学 二次函数 最值问题 思考研究

引言

二次函数的最值问题的研究主要包括三大点，开口方向、对称轴、给定区间，根据这三者存在的不确定因素，解决问题需要一定的配方，根据不同的分类进行讨论，再与数形相结合。二次函数最值问题的研究，学生解决二次函数的综合能力就会得到提升，同时学生的分类思考与数形结合的方法也会得到练习，促进学生的探讨性学习。在不同的题型中寻找合理的配方，加强计算的能力，以此解决二次函数不同最值问题的出现。

一、二次函数最值问题在确定区间范围内的分析

二次函数最值问题在区间范围内的解决，通常根据出现的题型，首先确定顶点坐标的位置，是在自变量之内，还是在自变量之外，最后根据不同的位置，运用合理的解题方法。以最简单的模式出现的二次函数为y=ax2+bx+c（a≠0），当x=类似于这种题型的时候，那么解题的方法就会变得异常的简单，那么稍许麻烦的是当x的取值范围有了一定的限制，那么问题的解决就需要学生拥有一定的应用技巧。比如当题目对x限定在区间[a，b]之内的时候，求解最值的时候就要根据不同的情况进行分析讨论，加大了解题难度和复杂性，就需要学生通过描绘出二次函数的图像进行详细的分析。

1.定轴定区间

所给函数具有固定的区间以及对称轴的题型就是定轴定区间问题，这种问题的解题的方法是相对简单的，结合题型画出函数图像，就可以根据图像的显示来判断出最大值与最小值。

这种题的解题思路大概如下所示：当函数为闭区间函数时，最值可能出现的位置有两处：其一，闭区间的两个端点；其二，函数的顶点。这个时候就要根据函数方程式对二次函数的开口进行分析，如果开口向上，那么最小值就在顶点处出现；反之，如果开口向下，最大值则出现在顶点处。在进行这个解题的过程中，可以利用草图进行辅助，从而能够看得更加直观。本题中，对称轴在x=1的位置，利用图像法，可以很明显的看出顶点处最小值=-4，端点处最大值=5.

2.定轴动区间

所给函数具有固定的对称轴、不固定的区间，即有变量存在的时候，这种类型的题型就属于定轴动区间。这种问题的解决，着重点在于函数的区间与对称轴之间相对位置的关系。

这种题的解题思路大概如下所示：当函数区间不确定的时候，区间端点与对称軸处函数值的大小就不能直接看出，函数图像的绘制就不能很具体，那么直接求出答案是肯定不行的。同样的也需要根据自变量的大小进行分类讨论，在分析上述两处函数值大小的基础上，确定函数的最大值和最小值。

分析所给的原函数，以对称轴为例，对称轴在区间左侧，在范围内，或者在右侧都有不同的解决方法。本题的对称轴为x=1。对称轴在所给区间的左侧时，题目就要满足t+1<1，函数就要在t+1处取得最大值，也就是t2-1；当函数的对称轴在所给区间内部的时候，题目满足t≤1≤t+10≤t≤1，此时函数在对称轴处取得最大值为-1；对称轴在所给区间的右侧时，题目就要满足t≤1，函数就要在t处取得最大值，也就是t2+2t-2.

3.定区间动轴

所给函数具有固定的区间范围，但是对称轴却要根据参数的大小进行变化，这种类型的题就是定区间动轴，求解最值的时候，也要根据参数进行分类讨论，具体讨论的策略与上述2相同。

求函数y=x2+2ax+1在区间[-1，2]上的最小值.

这种题的解题思路大概如下所示：由方程可知，该题目是“定区间动轴”类型。区间为[-1，2]，对称轴为x=-a。确定这些内容之后，就可以进行讨论。当对称轴位于区间右端点之外的时候，满足-a≥2，根据函数的大概图像可知，函数在2处取得最大值4a+5；当对称轴位于区间内部时，满足-1≤-a≤2，此时在对称轴-a处取得最大值1-a2；当对称轴位于区间左端点之外的时候，满足-a<-1，根据函数的大概图像可知，函数在-1处取得最大值-2a+2。

二、二次函数最值在经济类问题的运用

二次函数最值问题也会频繁的与经济问题相挂钩，经济中要求得到最优化就会用到二次函数的最值问题，在这种情况下也是必须要关注到自变量的具体取值范围的。

例子：某商店新销售一种商品，每件为40元，在试验销售的过程中，得知该商品每天的销售量为n（件）与单价x（元）之间的关系可用一次函数n=150-3x表示，商品单价在[40，60]区间内.需要得出商场每天的销售利润（y）与单价（x）之间的函数关系式.销售单价定位多少时，商场可获得日最大利润？最大销售利润具体为多少？

解析：产品每件销售利润为该（x-40）元，求出n件的总利润为y=n（x-40）。

由于n=150-3x，则：

y=（x-40）（150-3x）=-3x2+170x-6000，20≤x≤50.

结合上面的解题开始以对称轴为准侧，进行讨论解题，对称轴为x=42，且在给定的的取值区间内，抛物线开口向下，则最大值在x=42处得到，即ymax=-3×422+252×42-4860=432.所以，商品单价为42元时，每天的销售利润最大为432元。

总之，二次函数最值问题的解决时需要通过不断练习的，从多种角度，多种情况进行分析，加强二次函数最值求解问题的练习得出最简单的解题思路，加深印象，提高学生对知识的运用能力。

结语

二次函数最值问题的多角度有效分析，有效的加深学生对所学知识的了解与运用，培养学生解题的思维能力，不断的练习，思路会更加清晰，方案的确定，也会让学生在面对不同问题的解决方法时，拥有不同的角度考虑，做到从实际出发，充分掌握好初中数学中二次函数的最值问题。

（作者单位：福建省宁化五中）