从“概率与统计”考点看高考中的“数据分析”学科核心素养①
——以2016—2017两年高考理科数学全国卷为例

陈 晓 周仕荣

(闽南师范大学数学与统计学院 363000)

1 前言

2017年，新修订的普通高中数学课程标准(下述简称为新课标)提出了六大数学学科核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，强调在数学学习过程中着力发展学生的数学学科核心素养.笔者注意到新课标对于数学高考命题原则提出建议：“命题应依据学业质量标准和课程内容，注重对学生数学学科核心素养的考查，处理好数学学科核心素养与知识技能的关系，要充分考虑对教学的积极引导作用.”并进一步在考试命题路径中建议：“对于每道试题，除了要给出传统的评分标准外，还需要给出反映相关数学学科核心素养的水平划分依据.”可是高考命题如何处理好数学学科核心素养与知识技能的关系？如何充分考虑对教学的积极引导作用？针对上述问题，新课标提出了学业质量水平，即对学生在完成本学科课程学习后的学业成就表现的总体刻画，从情境与问题、知识与技能、思维与过程和交流与反思四个方面对数学学科核心素养的具体表现进行描述并将其划分为三个水平”.故我们可以利用学业质量水平这个新工具去分析近两年的高考试题，具体从四个方面和三个水平去分析相关试题，观察这两年的试题反映了数学学科核心素养的哪一种水平，并进一步预测未来的高考命题趋势和讨论对教学的积极引导作用.考虑到学生的“数据分析”学科核心素养主要是通过“概率与统计”这部分内容知识进行集中考查，且往年高考对于这部分知识考查要求相对简单和考查类型相对稳定，这里便选择“数据分析”学科核心素养去进行分析和讨论.故本文以2016-2017两年高考理科数学全国卷的“概率与统计”相关试题为研究对象，从上述的四个方面和三个水平去分析相应的试题，观察近两年“概率与统计”相关试题体现了“数据分析”核心素养的哪一种水平和进一步讨论未来高考关于“概率与统计”的命题趋势，并讨论对教学的积极引导作用.

2 相关概念知识

2.1 “数据分析”学科核心素养的内涵

数据分析，是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的数学学科核心素养.数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推理，获得结论.数据分析是研究随机现象的重要数学技术，是大数据时代数学应用的主要方法，也是“互联网+”相关领域的主要数学方法.数据分析素养具体表现为学生通过课程的学习之后，提升获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力，适应数字化学习的需要，增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质；积累依托数据探索数据的本质、关联和规律的活动经验.

2.2 数学学业质量水平

学业质量，是指学生在完成本学科课程学习之后的学业成就表现.而学业质量标准是以学科核心素养及其表现水平为主要维度，结合课程内容对学生成就表现的总体刻画.学业质量是学生自主学习与评价、教师教学活动与评价、教材编写的指导性要求，也是相应考试命题的依据.数学学业质量水平，是指六个数学学科核心素养的综合表现.每一个数学学科核心素养划分为三个水平，而这里的每一个水平都是通过四个方面进行表述，即情境与问题、知识与技能、思维与表达和交流与反思：(1)情境与问题，其中情境主要是指现实情境、数学情境、科学情境，问题则是指在情境中提出的数学问题；(2)知识和技能，主要是指能够帮助学生形成相应数学学科核心素养的知识和技能；(3)思维与表达，主要是指数学活动过程中反映的思维品质、表述的严谨性和准确性；(4)交流与反思，主要是指能够用数学语言直观地解释和交流数学概念、结论、应用和思想方法，并能进行评价、总结与拓展.除此之外，新课标的附录1对“数据分析”学科核心素养的三个水平给出了具体表现的描述，分别为水平一、水平二、水平三.每一个水平均是通过上述的四个方面去进行描述，而下面对于高考试题的分析主要是参考了新课标的附录1中对于“数据分析”学科核心素养的水平划分和附录2中教学案例与案例评价的分析.

3 试题分析

表1 “概率与统计”在2016-2017两年高考理科全国卷的题号分布情况

从表1看出，这里先对2016-2017年高考理科数学全国卷两年的相关试题进行编号、分类和分析，其中的相关试题指的是和概率与统计相关的试题，全国卷分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷三部分构成，从表1可以看出，“概率与统计”的内容知识基本是以一道客观题(5分)加上一道解答题(12分)的固定模式去进行考查，这里主要是分成客观题和解答题两部分进行分析，以(年、卷)的形式来表示以上试题，如(17、Ⅰ)表示2017年全国高考数学理科全国卷Ⅰ中的题目.同样，(16、Ⅱ)表示2016年全国高考数学理科全国卷Ⅱ中的题目,以此类推.

表2 (2016-2017年)高考理科数学全国卷客观题的考查状况分布

表2具体展示了“数据分析”学科核心素养的四个方面，观察表格发现，从情境与问题来看，对于(16，Ⅰ)和(17，Ⅰ)这两道题来说，16年是通过熟悉的现实情境来设计数学问题，17年则是通过特意设计的数学情境去设计数学问题.从知识与技能来看，这两道题都是考查了几何概型的知识点和运用几何概型去解决数学问题的技能，在思维与表达这方面来讲，这两道题反映了学生在体会概型模型思想之后并利用该模型思想进行解决数学问题.

为了简便，下面对于试题的分析直接从情境与问题、知识与技能、思维与表达这三个方面去进行分析.(16，Ⅱ)和(17，Ⅱ)均是利用熟悉的现实情境去设计数学问题，主要是考查计数原理的分步乘法原理这个知识点和掌握运用分步乘法原理去解决该数学问题的技能，同时反映了学生利用分类思想去解决复杂的计数问题.(16，Ⅲ)和(17，Ⅲ)这两道题都是采用数学情境去设计数学问题，均考查了统计图的识别和掌握从统计图中获取所需信息的技能，同时也反映了学生对统计模型思想的理解.从“交流与反思”来看，显然从学生的卷面考查是无法体现“交流”这个过程，而按照“反思”的涵义，在做题的过程中其实有体现了“反思”这一个过程，比如将运算之后的结果带入题目中进行验证，这种“回顾”过程便可称之为反思，或者对于较为复杂的题目，在解决问题过程中反复对自己的解题策略进行调整、运用和再调整从而得到答案，这也可称之为反思等等，从以上对“反思”的理解来看，这里认为在上述题目的考查反映了“反思”这个过程.根据上述的描述和参考新课标的附录1中对于“数据分析”学科核心素养的水平划分，这六道客观题可以划分为“数据分析”核心素养的水平一.

表3 (2016-2017年)高考理科数学全国卷解答题的考查状况分布

从表3中，首先可以看到这六道解答题均是基于现实情境里提出的数学问题.(16，Ⅰ)、(16，Ⅱ)和(17，Ⅲ)这三道解答题均是运用离散型随机变量去刻画随机对象，要求学生掌握求随机变量的分布列和期望的方法，这类题目也反映了学生在一定程度上可以利用离散型随机变量思想去描述和分析随机现象.(16，Ⅲ)这道题目主要是考查学生对最小二乘法和线性回归方程的相关知识和技能的掌握，同时也反映了学生可以利用统计模型去表达随机现象的统计规律的思维过程.(17，Ⅰ)考查了学生对正态分布概型和求随机变量的方差和均值等知识的理解，也反映了学生可以用概率模型去表达随机现象的统计规律的思维过程.(17，Ⅱ)则考查了独立性检验与估计中位数的相关知识，并要求学生理解独立性检验的基本思想并应用于解决问题.在交流与反思上，和上述对客观题的分析是一样的，在考查过程中仅仅反映了“反思”这一过程.整体而言，根据上述描述和新课标的附录1中对于“数据分析”学科核心素养的水平划分，这六道题可以划分为“数据分析”学科核心素养的水平二.

4 总结和讨论

4.1 客观题基本处于水平一，解答题基本处于水平二

根据上述对试题的分析和参考新课标的附录1中对于“数据分析”学科核心素养的水平划分得到以下结论：近两年的六道客观题的考查基本处于“数据分析”的水平一;近两年的六道解答题的考查则基本处于“数据分析”的水平二.故整体而言，近两年高考试卷关于“概率与统计”的命题难度基本可以达到“数据分析”的水平二.而之所以说是“基本”，则是因为从知识与技能方面去看，上述的解答题可以说达到了“水平二”状态，但从客观题和解答题这两种题型的解题情况，无法确定学生是否在思维与表达这个方面上同样达到“数据分析”的水平二.原因是无法确认学生在解题过程中是否经历所考查的思维过程，可能仅是靠记忆和经验去解决类似问题，又或者是通过一些所谓的“考试诀窍”——如对于选择题，将选项答案代入题目进行验证所得，这种做法显然扭曲了命题人希望考查学生思维过程的最初想法，并且上述情况有可能助长消极教学的风气.

4.2 未来高考考查难度依然会以水平一与水平二为依据

从上述的结论中，可以发现往年“概率与统计”的高考试题难度基本达到“数据分析”核心素养的水平二，由于新课标中的学业质量水平将“数据分析”划分出三个水平，通常我们会有一个想法，既然新课标提出了三个水平，是不是意味着未来高考命题将会出现处于“水平三”的试题？但根据新课标的建议：“数学学业质量水平二是高考的要求，是数学高考的命题依据，学业质量水平的“水平三”则可用于大学自主招生的参考.”由于高考命题和考试大纲的制定均是以课标为依据，我们可以预测：未来高考关于“统计和概率”方面的考查依然会处于“数据分析”的水平二.”但这里需要注意的是，新课标提到：“对于每道试题，除了要给出传统的评分标准外，还需要给出反映相关数学学科核心素养的水平划分依据.”基于该建议，高考命题组成员在未来的命题过程中就得从上述的四个方面去进行综合的考虑，进而设计能反映“数据分析”核心素养所需水平的高考试题.从4.1的结论来看，往年的试题仅仅是基本达到了“数据分析”的水平二，不够充分.而新课标明确提出利用上述的四个维度来综合评价学生的学科核心素养，故未来的高考试题难度则会倾向于从多个方面达到“数据分析”核心素养的水平二，即充分意义上的水平二.

4.3 设置开放题，综合考查“数据分析”学科核心素养

在上述对于解答题的分析当中，我们只能根据学生的解题情况去判断知识与技能这个方面上的水平，难以确定学生是否运用了相应水平的思维去解题，而上述也得到：未来的高考命题很有可能会从多个维度去综合考查学生的学业质量水平.这里建议，设置合理的开放题，可以从答题情况和答题理由中观察学生的思维和表达过程，显然这种类型的命题形式可以从多个维度上综合反映学生“数据分析”核心素养的水平，故笔者认为未来的高考命题可能会出现这类型题目.但由于开放题是遵循满意原则和加分原则进行评分(达到测试的基本要求视为满意，有所拓展或创新可以根据实际情况进行加分)，由于这种评分方式往往会带来评分的公平性问题，故命题时往往要考虑这类题目阅卷的公平性和可操作性.

4.4 设置综合题，对不同数学学科核心素养的综合考查

前面提到未来的高考命题会趋向于从多个方面去综合考查学生的“数据分析”学科核心素养.而这里讲的不同数学学科核心素养的综合考查，则是指一道高考题目综合考查了不同的数学学科核心素养，其中不同数学学科核心素养是指新课标提出的六种数学学科核心素养.

比如在一道估计总体性质的题目中，用样本空间的数字特征估计总体的数字特征或性质，是统计建模的基本思想和基本手法，既可以表现数据分析素养水平，也可以表现数学建模素养水平，像这道题目在考查了“数据分析”素养的同时，也考查了“数学建模”素养.故笔者认为，未来的高考命题可以对不同数学学科核心素养进行综合考查.

4.5 倡导积极教学，提升学生的“数据分析”学科核心素养

从上述的分析和讨论中，我们可以看到近两年高考关于“统计和概率”的考查难度可以说基本达到“数据分析”素养的水平二.照理说，相关试题的考查难度都不大，学生应该可以很好把握这部分题目，然而考查情况却不容乐观，特别是不少同学反映难以理解“概率和统计”的思想和畏惧这部分课程内容的学习，从笔者看来，一方面是因为学生从小接受的内容大多是确定性数学，所以学生习惯用确定性思维去理解不确定性数学内容难免会出现思维混乱，另一方面是学生在“概率与统计”的教学中没有很好地理解不确定思维和进一步感受统计思想对现实生活的便利性.总而言之，上述情况启示教师在关于“概率与统计”主题的教学中，要让学生认识到确定性数学和不确定性数学之间的差异，在新内容的学习中理解并接受不确定性思维，并懂得运用统计思想和概率模型思想去解决问题.其实早在普通高中数学课程标准(实验)中，就已经意识到这个问题，并强调在教学中要让学生了解统计方法的基本思想及其初步应用，其理论基础不作要求，避免单纯记忆和机械套用公式进行计算.新课标提出通过四个方面去综合评价学生“数据分析”核心素养水平，实质也是避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算，是进一步对学生在思维与表达、交流与反思等方面提出具体的要求，这就要求教师在教学过程中要注意学生是否很好地理解了不确定性思维并初步运用其相关思想去解决问题.新课标明确提出，对于每一道试题，命题人除了要给出传统的评分标准外，还需要给出反映相关数学学科核心素养的水平划分依据.从以上的分析，新课标倡导积极教学，提升学生的“数据分析”学科核心素养.