截面相似性零件的自适应测点规划研究

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(1. 福建工程学院 机械与汽车工程学院 福建 福州 350118；2. 福州大学 机械工程及自动化学院 福建 福州 350116；3. 福建工程学院先进制造生产力促进中心 福建 福州 350118)

在对如涡轮叶片、发动机气道等截面相似性零件进行加工误差评测时，涉及复杂曲面的测点规划问题[1-3]。由于该类零件的截面在某一个方向上具有相似性，目前大多基于“曲面-曲线-点集-测点集”的策略进行测点的规划研究[4]。当零件由多张曲面拼接而成时，容易遇到相邻曲面的关系处理和统一尺度规划困难问题。

三角网格模型是表达复杂形体的有效方法，将复杂曲面统一转换成均匀细粒度的三角网格模型，则可实现整体模型的统一表达，能避免相邻曲线、曲面的衔接处理难题[5]。另外，工件的加工难度会随着曲率的变化而变化[6]，按曲率进行测点的合理规划，则可在保证精度的前提下，减少测点个数，提升效率。因此，本文在“曲面-曲线-点集-测点集”分解思想的基础上，引入三角网格模型和形状特征评估技术，进行“模型-截面线-点集-测点集”的自适应规划方法研究，实现多张曲面拼接而成的零件的统一尺度规划，达到以较少的测点反映加工误差的目的。

1 测点规划总框架

“模型-截面线-点集-测点集”的自适应规划流程框架如图1。将多张曲面构成的数字化设计模型通过密集离散采样转换成三角网格模型，以实现复杂曲面模型的统一尺度描述。基于三角网格模型进行截面线的提取，实现三维整体模型到二维截面线的离散。然后将曲率与弧长的乘积作为度量指标，通过单位弧长曲线的弯曲程度进行截面线测点的自适应规划，实现高曲率的区间段比平坦区间段布置的测点更加密集。并将采样点投影回曲面模型，以避免测量点偏离原始曲面。

图1 测点规划流程框架图Fig.1 Flow chart of measure point planning method

2 测点规划实现

2.1 复杂曲面模型的三角网格化

截面相似性零件的设计模型由多张自由曲面包裹而成，而自由曲面可以由NURBS曲面进行统一表达。零件的曲面设计模型离散成均匀细粒度的三角网格模型，即可通过NURBS曲面的三角网格化加以实现。

NURBS曲面的表达式为：

(1)

式中，Qij(i=0,1,…,n;j=0,1,…,m)为网格控制顶点；Wij(i=0,1,…,n;j=0,1,…,m)为网络控制点的权值；Ni,k(u)为NURBS曲面u参数方向的B样条基函数；Nj,l(v)为NURBS曲面v参数方向的B样条基函数；k、l为B样条基函数的阶次。

在u∈[0,1]，v∈[0,1]的二维参数域平面上进行密集间隔采样，并对二维的采样点进行网格化剖分，实现参数域上的网格化离散。然后根据式(1)将参数域上的网格顶点映射回欧式空间，实现NURBS曲面的网格化。对各张曲面都进行三角网格化剖分，通过边界缝合获得一个完整的三角网格模型，即可实现复杂曲面模型的三角网格化。

2.2 截面线提取

通过三角网格模型与一组平行平面求交获得截面线，以实现三维网格模型到曲线的分解。为了提高截面线的提取效率，通过构建与平面平行相交的体素，缩小首条相交边的搜索范围；进而利用三角网格模型的拓扑信息进行相交截面线的快速提取。提取流程为：

1)获得截交平行平面的法向，定义网格模型的Z向与平面的法向一致。

2)构建三角网格模型的最小AABB包围盒。

3)平行平面向Z向的正负方向偏移给定距离，把最小包围盒按给定的空间分辨率L×L×L进行栅格化分割，并将与平行平面相交的栅格设为有效栅格。

4)遍历网格顶点，当有顶点落入有效的栅格内时，通过该顶点获得一阶领域边，判断边与平面的相交关系，逐层向外扩张直至找到首条相交的边。

5)在获得首条相交边后，建构三角网格模型拓扑关系。

6)基于首条相交边和拓扑关系进行截面线的提取：步骤一，根据拓扑信息获得包含该边的三角面片，进而获得三角面片所包含的其它边和顶点，并与平面进行求交判断，获得下一相交顶点或相交边，并得到相交点；步骤二，如果是相交边，返回步骤一，否则交点落在顶点上，通过顶点获得其一阶领域边，并与平面做求交判断，以获得下一相交边并返回步骤一；不断重复上述过程，直到又找到搜索起始边或向两个方向都找到边界边为止。求出与切割平面相交的所有交点，即可得到一个完整的相交截面轮廓。

7)重复步骤4)～6)直至获得所有截交线。

2.3 基于曲率特性的自适应采样

通常零件表面的加工难度会随着曲面形态的变化而变化，其中，曲率是一个关键的度量因素。为了更客观地评判加工误差，在高曲率的区间段应该布置更加密集的测点。因此，将曲率与弧长的乘积作为度量指标，通过单位弧长曲线的弯曲程度进行测点的自适应规划。

曲线的质量[7]为：

(2)

式中，ρ为曲率。

通过等分曲面质量，使得单位曲率密度越大的区间段对应弧长越短，进而实现规划的测量点随曲率变化而自适应调整。又由于通过三角网格模型所截交获得的截面线由小直线段构成，式(2)可转化为：

(3)

式中，ki为小线段曲率单量；li为小线段长度。

截面线曲率通过离散小线段的端点进行估算，如图2。

图2 端点圆弧曲率估算示意图Fig.2 Schematic diagram of end arc curvature estimation

由相邻的3点pi-1、pi、pi+1拟合圆，根据圆的半径ri，即可估算pi处的近似曲率：

(4)

式中，li、li+1、hi分别为线段pi-1pi、pipi+1、pi-1pi+1的长度。

当截面线不同区间段的曲率变化较大时，容易导致规划的测量点大量聚集在曲率变化大的区间段内，而小曲率区间的规划点过于稀疏。为避免上述情况发生，在归一化处理的基础上添加曲率调整因子。

(5)

式中，η为调整因子，η∈[0,1]。

通过将质量mcur等分成count份，获得截面线上单元分段点，即可得到所规划的测量点。

2.4 测点的曲面投影

在三角网格模型截面线上规划的测量点，很少与网格顶点重合的，大多落在三角面片的边上或内部。由于曲面到三角网格离散时，存在离散误差，导致大量规划点偏离原始曲面。因此，需要将规划测点投影回曲面，以消除三角网格离散误差的影响。

图3 插值估算示意图Fig.3 Schematic diagram of interpolation estimation

设测量规划点qi在三角面片的内部，该三角面片的顶点为psi1(usi1,vsi1)、psi2(usi2,vsi2)、psi3(usi3,vsi3)。则点qci1可通过psi1、psi2的线性插值进行估算：

qci1=τ1psi1(usi1,vsi1)+τ2psi2(usi2,vsi2)

(6)

式中，τ1、τ2为插值系数，满足τ1+τ2=1，具体为：

进而可估算qci1在参数域中的坐标值(uci1,vci1)：

(7)

3 实验与分析

以图4所示的截面相似性曲面为例，进行基于三角网格截面线自适应测点规划法仿真验证。

图4 曲面模型(单位：mm)Fig.4 Original model of a surface(unit: mm)

将曲面按允许容差0.08 mm进行三角网格化，离散成包含6 728个顶点、13 272个三角面片的密集三角网格模型。图5为y=20 mm处，采用本文获得的20个规划点布局图。可见，在曲率大的区域采样点较曲率小的区域密集。

图5 基于曲率的自适应测点(单位：mm)Fig.5 Adaptive measure points based on curvature (unit: mm)

在允许容差0.08 mm的基础上，再按1 mm和0.5 mm的容差进行三角网格化离散。其中,1 mm和0.5 mm的容差离散化后，三角网格模型包含的三角面片数分别为644个和1 180个。同样，在y=20 mm处，各规划20个测量点，3种离散精度下的测点布局基本一致，相互间的距离偏离都在1 mm范围内，说明本文的规划方法对三角面片的离散粒度不敏感。在实际应用时，一般取规划测点的10倍密度进行三角网格的离散。另外，当基于截面线所获得的测量点未投影回曲面时，规划点偏离原始曲面的误差与离散密度直接相关，随着离散密度的增加，偏离误差变小，但不能消除。而将规划测点投影回原始曲面后，规划的测点就是原始表面上的点，即可消除网格化偏差的影响。

进一步在原始曲面上增加工艺系统噪声和随机测量噪声模拟曲面加工误差，采用参数法、等弧长法和本文方法对误差测量精度进行对比，以验证本文方法的有效性。3种方法各规划20、40、60、100和160个测量点。利用测点所对应的模拟曲面测量值拟合曲线，拟合曲线与噪声曲线间的误差均方根体现测量精度。仿真结果如图6。由图6可见，对于不同的测点个数，本文方法较等参数、等弧长法能获得更好的测量精度；随着采样点的增多，三者测量精度的差异减小，到某一饱和值后，三者没有明显差别，从而说明了本文方法能以较少的采样点反映误差情况。

图6 不同方法对应的误差均方根对比图Fig.6 Comparison of RMSE from different methods

将本文方法应用于如图7涡轮叶片的加工测量中。涡轮为典型的截面相似性零件，设计模型如图7(a)，叶面部分由多张曲面拼接而成。历经三角网格化离散、截面线提取和自适应测点规划，在模型高度2/3 处，获得图7(c)的30个测量点。基于测量规划点对图7(b)的加工工件进行截面误差测量，得到截面最大误差为0.098 0 mm，测点的误差均值为0.067 6 mm。

图7 涡轮叶片实例Fig.7 Example of a turbo blade

4 结论

针对截面相似性零件的特点，构建“模型-截面线-点集-测点集”的测量。对截面线进行曲率估算，基于曲率特征进行测量采样点的自适应规划。并将三角网格上的测量点投影回原始曲面，避免三角化离散误差对规划测点的影响。从而构建了基于网格形状特征的截面相似性零件的自适应规划方法。通过仿真分析与实验，验证了该方法的有效性。