磁极削角表贴式永磁电机解析法建模与分析

倪有源，崔征山，陈俊华，刘跃斌

(合肥工业大学，合肥 230009)

0 引 言

近年来，高性能永磁材料的应用极大地促进了永磁电机的发展，永磁电机结构简单,有体积小、质量轻、功率因数高、功率密度高等优点，在智能制造、伺服控制等领域的应用比例越来越高。一方面，永磁材料的推广应用简化电机的结构和质量，消除转子上的滑环和电刷等结构，降低电机的故障发生率；另一方面，电力电子功率器件的发展为永磁电机的发展提供了广阔的空间，促进了永磁电机的开发和应用。功率集成性器件和计算机技术的进步，极大程度上改观了现代永磁电机的控制领域，实现了电机的无刷结构，在高精度位置控制行业已显得十分重要，如：智能机器人、航天飞行器、医疗器械以及精密加工等行业。

为了便于嵌放电枢绕组，在生产电机时，定子上常开有一些槽。齿槽效应会产生转矩脉动和电磁噪声等问题。表贴式永磁电机的转矩脉动主要包括定子电流与转子永磁体的相互作用，以及定子齿和永磁体的相互作用[1]。当电机空载运行时，齿槽转矩成为转矩脉动的主要来源。

针对齿槽转矩的抑制方法，国内外文献已有大量的研究。常见的方法主要有：改变磁极参数，改变电枢结构以及槽数和极数的配合。具体包括：定子斜槽[2]、转子磁形优化[3]、槽极配合[4]、不等槽口宽度配合[5]、永磁体分块[6]、极弧系数组合[7]、定子齿开辅助槽、转子开槽及削角[8-9]、改变永磁充磁方向[10]等，但目前大都基于有限元法分析层面，基于设计参数与齿槽转矩变化关系的定量分析十分匮乏。

本文通过对永磁体进行削角来减小永磁电机的齿槽转矩，阐述确定最优削角尺寸的方法。同时分析电机的气隙磁密、反电动势、齿槽转矩等参数，并与永磁体尚未削角进行对比，得出该种磁极削角方法可以提高电机的相关性能。

1 解析法建模与分析

1.1 永磁削角解析模型的建立

本文主要研究的是8极9槽表贴式永磁电机，转子采用削角方式，定子带有齿尖，永磁体采用径向磁化，设极弧系数为αp，下文中电机主磁场采用气隙区域Ⅰ和永磁区域Ⅱ来表示。定子结构如图1所示。

图1 电机定子结构图

由于齿槽效应，在槽口处的磁阻较大，气隙磁密在定子齿尖处会发生一定畸变，造成磁场谐波含量增加。

为简化建模分析，对电机模型作如下假设：定子铁心和转子铁心的磁导率为无穷大，忽略铁磁材料饱和；仅考虑二维场，电枢绕组端部效应忽略不计；永磁材料具有线性退磁的特点，且永磁体被完全磁化。

假设定子内表面光滑，定子为无槽结构时，依据磁场边界条件连续性，在气隙区域Ⅰ和永磁区域Ⅱ中，磁感应强度与磁场强度分别满足[11]：

(1)

式中：BrΙ,HrΙ分别是空气中的磁通密度和磁场强度；BrⅡ,HrⅡ分别是永磁体的磁通密度和磁场强度；M为永磁体的磁化强度；μ0为真空磁导率；μr为永磁的相对磁导率。

在二维极坐标下，磁化强度矢量可表示：

M=Mrr+Mθθ

(2)

式中：Mr,Mθ分别为磁化强度的径向分量和周向分量。

同时，气隙区域Ⅰ和永磁区域Ⅱ需满足拉普拉斯方程和准泊松方程，即：

(3)

(4)

当转子磁极表面被削角后，磁场区域的边界条件变得十分复杂，这里对各磁场区域，采用叠加原理求解。

削角后的转子模型如图2所示。将整块磁极分为2个区域：规则的A区域和不规则的B区域。

图2 转子削角结构

在相关文献中，对永磁体削角方式研究很不深入，对多参数变化分析十分匮乏。为了减小磁通变化率，本文采用半圆弧削角的方式，如图3所示。为保证永磁削角后的气隙磁场对称分布，在图3中沿磁极的中心线，并以O1为圆心，且O1与O之间的距离为d，R0为半径，所得到的弧线将磁极表面截去，即形成转子削角模型。

图3 永磁削角的模型

利用几何关系，对图3分析可得，

(5)

当Rmj=Rm时，则可确定被削角规则的永磁区域A所处的范围：

(6)

对不规则区域B，永磁体的外半径发生了变化，但依据几何关系可知：

(7)

同时，d与R0的关系必须满足：

(8)

(1≤i≤n1)

(9)

同理，对另外一侧削角部分作同样的分析。

显然，当n1足够大时，第i段小磁块就可等效为规则的扇形区域。

将一个周期内的永磁区域沿逆时针方向，按空间角度位置对磁化方式进行分解，如表1所示。

表1 磁化强度表达式

将表1中分段的磁化强度写成傅里叶级数的形式：

(10)

对于规则的A区域，气隙磁密的径向分量和周向分量分别：

(11)

式中：KBα(n),fBr(r)以及fBθ(r)的具体表达式在文献[11]中给出。

对于不规则的B区域，将各段小永磁体单独在气隙区域产生的磁密叠加合成，即：

(12)

则对于定子内表面光滑的无槽结构，永磁体产生的气隙磁密：

(13)

1.2 带齿尖结构齿槽效应的分析

由于图1中定子有齿尖，气隙磁密经过定子槽口处要发生畸变，增加气隙磁场中的谐波成分。卡特系数[12]可以分析齿槽效应。本文利用改进的卡特系数进行分析。

由于气隙磁密在槽口处的磁阻较大，实际的气隙路径长度分布不均，故需用等效气隙来代替实际的气隙长度。将磁通的路径分为4条，如图4所示。图4中，bs为定子齿尖长度，b0为定子槽口长度，g为气隙长度，h为定子齿高。

图4 定子齿尖结构及磁通路径

图4中各条磁通路径的长度分别：

(14)

电机的总磁通可由磁动势和磁导计算获得：

(15)

式中：gh为等效气隙长度；Kc为卡特系数；xi为磁通路径通过定子铁心的区域；yi为第i条路径的长度。

通过式(14)处理可得，各条路径的磁导：

(16)

气隙磁场总的磁导为各条路径磁导的总和：

(17)

由于电机的总磁通和磁动势在等效前后不变，而总磁通等于磁导乘以磁动势，结合式(15)可知，有效气隙长度：

(18)

改进后的卡特系数：

(19)

对定子有齿尖的结构，通过采用改进后的卡特系数计算等效气隙路径的方法，间接反映齿槽效应对气隙磁密波形的影响，可将径向和切向气隙磁密分别表示：

(20)

式中：

(21)

将分段后的卡特系数经傅里叶展开，即可获得定子有齿尖的径向和切向气隙磁密分布。

1.3 反电动势分析

永磁体产生的磁场在定子绕组中产生磁通，转子旋转时，在定子绕组中就会产生感应电动势。对有定子齿的绕组分布，在一个节距内，绕组中磁通可以由气隙磁密在定子内表面的积分获得[13]，即：

(22)

式中：αy=2π/Ns。

当定子槽数为奇数时，对不同极槽配合的反电动势可以表示：

(23)

1.4 齿槽转矩的解析式

齿槽转矩是由于定子齿槽与永磁体相互作用而产生，当气隙磁密经过槽口时，在电枢齿两侧周向方向上的电磁力大小不等，且合力的效果试图使永磁磁极与定子槽对齐，是电机的固有特性。但在电机精密控制行业，齿槽转矩对转矩脉动的影响不能忽视，同时也会带来电磁噪声等问题。

计算齿槽转矩主要有能量法和麦克斯韦表面张力法，后者计算精度较高。因此，采用麦克斯韦应力张力法[14]计算齿槽转矩：

(24)

式中：Br(r,θ)和Bθ(r,θ)分别为考虑齿槽效应时的气隙磁密的径向分量和周向分量。

从齿槽转矩的解析式中可以看出，齿槽转矩峰值与电机轴向长度、气隙磁密幅值、定子开口宽度等密切相关。经进一步化简后，可将齿槽转矩问题转变为转子位置θ的函数，故齿槽转矩峰值只取决于气隙磁密的径向分量Br和周向分量Bθ。由式(24)可知，当图3中永磁削角尺寸发生变化时，会直接影响到气隙磁密波形分布，削角过小或过大都会造成的气隙磁密畸变，所以将齿槽转矩的脉动转化到气隙磁密的径向和周向分量上。这里通过MATLAB工具，利用解析模型，对变量赋值可快速得出齿槽转矩的变化规律。

2 解析法计算及有限元法验证

为验证上述解析模型的准确性，以一台8极9槽表贴式永磁电机为例，电机额定转速为750r/min，电机结构参数如表2所示。

表2 永磁电机的主要参数

根据上述所建立的转子削角解析模型，对电机主要参数进行赋值，可得出径向和切向气隙磁密的波形，分别如图5和图6所示。从图5、图6中可以看出，解析法与有限元法得到的径向气隙磁密基本一致。解析法首先计算永磁削角后在定子无齿槽效应下的气隙磁密波形，之后利用改进卡特系数的方法，对气隙磁密路径进行研究，得出实际定子带有齿尖时的气隙磁密分布。由于在计算齿槽效应时需要分步骤进行，因而会产生数值误差。另一方面，由于在定子齿边缘处的聚磁效应，气隙磁密出现尖峰，但解析法通过改进卡特系数的方法不能完全反映出该特点。但从气隙磁密波形总体上看，2种方法计算结果基本一致。进一步分析可知，减小电机的工作气隙对波形质量影响较大；越靠近定子内表面处，磁密波形畸变越严重。

图5 径向气隙磁密波形

图6 切向气隙磁密波形

采用解析法获得的空载反电动势波形如图7所示。从图7中可以看出，永磁体削角后反电动势接近于正弦波。对反电动势作FFT分析可知，永磁削角后反电动势的基波幅值为26.53V,总谐波THD占14.46%；当磁极未削角时，反电动势的基波幅值为20.04V，总谐波THD占17.32%。显然，永磁体表面削角后，增加了反电动势的基波幅值，减小了谐波含量，这对提高转矩和抑制转矩脉动十分有利。有限元法验证了相反电动势解析法结果的正确性。

图7 相反电动势波形

齿槽转矩的波形如图8所示。从图8中可以看出，齿槽转矩的峰值为65.62mN·m。而当永磁体表面未被削角时，齿槽转矩的峰值为160.85mN·m。因此，转子表面削角后，可有效减小齿槽转矩。

图8 齿槽转矩波形

综上所述，有限元法验证了解析法获得的气隙磁密、反电动势以及齿槽转矩结果的正确性。

3 齿槽转矩的优化

为了研究永磁体削角后齿槽转矩的变化特点，需要对削角后转子的形状进行分析。结合式(8)，由图4可知，削角尺寸变化为2个圆心的距离d与削角半径R0的二元函数。2个变量同时对齿槽转矩峰值的影响如表3所示。

表3 齿槽转矩峰值与永磁削角尺寸的关系

从表3中可以看出，当2个圆心的距离d一定时，存在唯一对应的削角半径R0，使获得的齿槽转矩最小。由表2中的电机参数，利用建立的齿槽转矩解析模型，经过分析可知，当d为31mm，且R0为14.5mm时，获得的齿槽转矩峰值最小值为13.61mN·m。相对于转子表面未被削角时齿槽转矩可有效降低91.53%。

在对永磁体进行削角过程中，随着削角的逐步变化，永磁体形状可出现正弦形、梯形、面包形以及磁极偏心等形状，故对永磁体削半弧形角将上述磁极形状都囊括在内，是一个磁形动态优化过程。

另外，从表3中可以看出，当永磁体削角尺寸不合理时，齿槽转矩脉动不减反增，受齿槽效应的影响，引起气隙磁密的径向和周向分量畸变。

4 结 语

本文利用磁场边界条件和叠加原理，对永磁体分段建模，建立了削半圆弧磁极的表贴式永磁电机解析模型，计算了气隙磁密、反电动势以及齿槽转矩等参数，并与有限元法计算结果进行比较，验证了建立解析模型的准确性。此外，还利用解析模型对齿槽转矩进行了优化，由于半圆弧的削角方法使气隙磁通在极间变化相对平缓，选取合适的两圆心距离d与削角半径R0后，对降低齿槽转矩的效果十分明显。利用建立的磁极削角模型，充分发挥解析法对变量快速计算寻优的特点，提高了永磁体的利用率，为电机转子磁形设计方面提供了一种思路，为实际应用提供了参考。