线切割平面线圈Halbach永磁直线电动机电磁分析

张宗庆，马树元，宋宁冉

(北京理工大学，北京 100081)

0 引 言

大行程、高精度是定位平台追求的目标,而磁悬浮直线电动机是满足这一要求的途径之一。直线电动机磁悬浮力与水平推力由气隙磁场决定，而定子线圈平面精度直接影响气隙磁场形态与大小。因此，定子线圈平面精度是影响直线电动机驱动稳定性的重要因素之一[1]。

直线电动机是磁悬浮运动平台直线运动的电磁驱动装置，永磁同步直线电动机可以看作是永磁同步旋转电机沿径向剖开，直线电动机的纵向、法向和横向与旋转电动机周向、径向和轴向一一对应。基于David L.Trumper对永磁直线电动机框架结构和原理的分析[2]，Won-Jong Kim建立的基于Halbach永磁阵列的直线电动机数学解析模型成为许多学者进行直线电动机电磁分析的理论基础[3]。周赣等在对Halbach阵列磁场解析计算和谐波分析的基础上[4]，对Halbach型直线电动机执行器的特点进行分析，并提出其电磁力方程[5]。宋玉晶则在考虑端部效应的基础上建立无铁心式永磁同步直线电动机推力模型[6]。支凡等通过建立永磁直线电动机推力谐波解析模型，并将低推力波直线电动机设计准则应用于直线电动机优化设计中，降了低推力波动[7]，王斐然等则提出最优初级长度从而抑制了永磁直线电动机的推力波动[8]。潘开林等分析了永磁直线电动机磁阻力产生的原因，并提出相应的抑制永磁直线电动机磁阻力削弱的措施[9-10]。

对于直线电动机，目前学者研究侧重点在于Halbach 磁体结构，对线圈研究较少，文献[2-11]中很多定子绕组均采用环型线圈表面缠绕结构。Han-Sam Cho根据线圈阵列与永磁阵列相互作用的平面驱动原理，提出了一种多组一维线圈阵列和一个二维永磁阵列所组成的动线圈式平面电机[11]。此后，不少学者对平面电机有了较为深入的研究，诸如文献[13-15]。平面电机所用线圈类型有圆形线圈、同心环形线圈、鱼骨形线圈等，定子有带铁心和无铁心之分。

谢虎等采用漆包线粘接成平面线圈并进行了电磁分析[15]，徐伟等对凸型Halbach阵列的永磁直线电动机磁场进行分析[16]。在此工作的基础上，本文对线切割平面线圈Halbach永磁直线电动机进行电磁分析，并进一步验证其优良性。

1 磁悬浮直线电动机结构

在磁悬浮系统中，直线电动机一般由固定的平面线圈作为定子，浮动的凸型Halbach永磁阵列(固定于工作平台上)为动子。直线电动机依靠Halbach永磁阵列的磁场与通电平面线圈产生的励磁磁场相互作用产生的电磁力进行驱动[15]。

磁悬浮Halbach永磁直线电动机模型如图1所示，IA,IB′,IC,IA′,IB,IC′为三相对称正弦电流，磁块上所标箭头表示磁块充磁方向，4个方向为一周期。分段的凸型永磁体来构成Halbach 永磁阵列，形成较理想化的空间正弦分布磁场。永磁阵列的磁场与通电平面线圈产生的气隙磁场相互作用产生电磁浮力[16]，将永磁阵列悬浮至控制高度0.5 mm；同时产生电磁推力，在线圈固定的情况下，工作平台将沿着行波磁场运动的方向作直线运动。当永磁直线电动机的线圈平面精度达不到设计精度时，将会直接影响磁悬浮定位平台的精度及运动稳定性。

图1磁悬浮Halbach永磁直线电动机模型

对交流线圈绕组，一般要求三相绕组对称，电动势和磁动势的波形接近正弦波，机械强度高，散热好，绝缘性能可靠，制造工艺简单。传统环形线圈在加工制造过程中的不对称，会导致各相线圈的互感不相等，引起端部效应；制造过程中不易保证线圈平面的平面度，影响电机的平稳工作，无法满足高精度的需求。特别是对于磁悬浮直线电动机，由于没有悬浮方向的约束，线圈平面在悬浮方向的精度直接影响电机在悬浮方向上的平稳性。

本文设计了平面线圈结构，由线切割加工而成，通过加工精度的控制保证三相绕组的对称性，最大限度地克服端部效应的影响，并保证线圈平面优良的平面度。在装配时采取弯折措施，利于配线组装。为使线圈平面获得更高的平面度，还可在组装后做磨削加工，然后对表面进行绝缘处理。

2 平面线圈电磁分析

2.1 平面线圈边界磁矢势分析

永磁直线电动机电磁分析模型如图2所示。其中fx为水平X方向电磁推力，用于在X方向平台实现指定位移；x0为永磁体相对于定子的水平位移；fz为悬浮Z方向磁悬浮力,用于将工作平台悬浮至指定高度并保持；z0为空气间隙厚度；Δ为永磁体的厚度；Γ1为平面线圈厚度;l为永磁阵列周期长度；字母a～h表示物体的边界；IA,IB′,IC,IA′,IB,IC′为三相对称正弦电流；J为电流密度；磁块上所标箭头表示磁块充磁方向，4个方向为一周期。

图2 永磁直线电动机模型图

在平面线圈电流IA,IB′,IC,IA′,IB,IC′区域内，磁矢势方程：

(1)

在平面线圈内泊松方程的特解：

(2)

式中：kn为表面电流线密度；μ0为真空磁导率。

平面线圈边界f和g的磁场：

(3)

在平面线圈区域内的磁感应强度与磁矢势关系：

(4)

(5)

边界h和g磁矢势关系：

(6)

(7)

求解式(1)～式(7)，可得：

(8)

(9)

(10)

(11)

可得空气间隙上表面d的磁感应强度：

(12)

可得平面线圈边界e的磁矢势：

(13)

2.2 平面线圈电磁力分析

平面线圈中的磁通量确定以后才能得到其感应电动势，根据斯托克司定理可知，平面线圈磁通量可用磁矢势表示：

(14)

平面线圈的磁场周期为L，相数为φ1,ω为线圈长度，平面线圈磁通量φ：

(15)

(16)

式中：η0为线圈电流密度。

电流密度J的Fourier可表示：

(17)

磁矢势：

(18)

则平面线圈磁通表达式：

(19)

从式(19)可得，平面线圈磁通量φ与线圈厚度Γ和磁场周期L有关。

在直线电动机电磁功率确定之后，才能确定直线电动机的水平驱动力fx和悬浮力fz与平面线圈结构的关系。

直线电动机机械功率PM：

PM=vxfx+vzfz

(20)

在工作时，直线电动机电磁功率PE转化为机械功率PM，采用平面线圈的直线电动机，电磁功率PE：

(21)

做以下假设： 平面线圈电流密度Jz在z方向正弦分布；对电磁功率影响较小的高次谐波忽略不计；只考虑对电磁功率影响较大的基波。得Jz表达式：

Jz=(Ja+jJb)e-jk1z+(Ja-jJb)e-jk-1z

(22)

将式(22)代入式(21)并根据关系式(23)：

γ-1=γ1=k-1=k1

(23)

可得电磁功率PE：

PE=μ0M0Ge-γ1x0{vx[Jasin(γ1z0)-Jbcos(γ1z0)]-

vz[Jacos(γ1z0)+Jbsin(γ1z0)]}

(24)

直线电动机输入电磁功率PE和输出机械功率PM相等(能量守恒定律)，综合以上各式可得：

(25)

式中：μ0M0及γ1均为永磁体物理常量；线圈厚度Γ和电流密度J的关系：

(26)

由式(25)和式(26)可得:

(27)

由式(27)可知，当永磁阵列参数确定后，平面线圈输入电流I，厚度Γ和线圈磁场周期L共同决定了直线电动机的磁悬浮力fz与水平推力fx，在线圈磁场周期L和厚度Γ确定的情况下，磁悬浮力fz与水平推力fx只由电流I决定。

3 线圈的设计和制作

线圈组装后如图3所示。直线电动机在定子和动子的磁场周期相等时才能正常工作，由凸形[1]Halbach永磁阵列周期长度为24 mm，可得平面线圈每一相的宽度应该为24 mm/6=4 mm。根据前面分析及直线电动机驱动力要求，结合磁悬浮系统工作平台运动需求，线圈厚度设为1 mm，采用双层结构，上下两层串联，三相绕组Y型连接。两端孔是为方便连线。考虑到导电性以及成本因素，材料选择紫铜。考虑到实际永磁阵列的制造、安装等误差，以及线圈的制造、安装绝缘处理等误差，留有间隙，以抵消实际误差，达到永磁阵列的周期与线圈周期相匹配。利用三坐标测量机测量本文线圈的平面度为0.084 7 mm，较之前所用线圈的平面度有较大改善[15]。

图3 线圈组装图

4 平面线圈有限元仿真分析

为了对设计的直线电动机的电磁特性进行进一步分析，采用COMSOL软件建立了线圈的2D有限元模型，并设定如表1所示的相关参数，分析得到的线圈产生的磁场分布如图4所示。根据磁悬浮平台的设计悬浮高度，在0.5 mm处产生的行波磁场如图5所示。可以看出，本文研究的平面线圈绕组磁场，特别是接近中间工作区域，正弦性接近理想形态，加之较高的平面精度，适合作为系统Halbach永磁直线电动机的定子绕组使用。

表1 平面线圈有限元仿真参数

图4 线圈的2D有限元模型磁场强度分布图

图5 0.5 mm处产生的行波磁场

5 直线电动机有限元分析仿真

为求得直线电动机电磁密度进而得到系统的电磁力，需要对直线电动机进行电磁分析。COMSOL基于洛伦兹力法求解电磁力，即把通电平面线圈当作载流设备，可得通电平面线圈在水平X方向和悬浮Z方向所受的洛伦兹度密度，基于洛伦兹力密度公式F=J×B，即可得平面线圈所受的磁悬浮力和水平推力，即为磁悬浮系统的磁悬浮力fz与水平推力fx。

建立平面线圈凸形Halbach永磁直线电动机的模型并导入COMSOL，如图6所示。

图6平面线圈直线电动机有限元仿真模型

COMSOL分析过程中，相关常数及参数如表2所示。

表2 直线电动机COMSOL仿真参数

建立好直线电动机的仿真模型, 定义有限元网格、 选择求解器和可视化结果之后，得到如图7所示结果。

图7 直线电动机有限元仿真磁场强度分布图

在COMSOL后处理中，选择所有的线圈进行求解域积分，得到通电线圈的在Z方向和X方向洛伦兹力密度系数分别为59.745 N/m和33.028 N/m，乘以平面线圈与永磁阵列作用的有效长度0.04 m，可得线圈所受到的洛伦兹力：悬浮Z方向2.389 8 N，水平X方向1.321 N，根据作用力与反作用力原理，直线电动机永磁阵列受到的悬浮力fz为2.389 8 N,水平推力fx为1.321 N。

在对直线电动机进行系统仿真时，为简化仿真模型，并没有考虑运动平台和永磁阻尼器的重量与影响，此时运动部件的重量为0.21 kg，即所受的重力：

G=mg=2.058 N

(28)

由仿真结果及式(28)可知，当平面线圈厚度为1 mm时，磁悬浮力fz=2.389 8 N>G,能够满足磁悬浮系统驱动要求，此时fx=1.321 N，能够满足磁悬浮系统加速度要求。同时仿真结果进一步验证了采用平面线圈的凸形Halbach永磁直线电动机设计的正确性。

6 结 语

本文研究了用以改进磁悬浮平台Halbach永磁直线电动机定子平面精度的线切割平面线圈，在制作工艺和线圈平面的平面度方面有较大提升，而且易于装配。针对所设计的线圈，利用有限元方法分析了电磁特性分析。结果表明平面线圈绕组磁场正线性接近理想形态，适合作为系统Halbach永磁直线电动机的定子绕组使用。因此，Halbach永磁直线电动机中，使用本文设计的线切割平面线圈，能够使电机运行更平稳，改善磁悬浮平台的精度及运动稳定性。