体积压裂时套管弯曲应力放大计算分析

董文涛， 吴 萌， 张 弘， 申瑞臣， 付 利

(1中国石油勘探开发研究院 2大连理工大学盘锦产业技术研究院 3中国石油集团工程技术研究院有限公司)

体积压裂中套管所处复杂力学环境导致井筒完整性问题得到了研究人员的广泛关注[1]。我国南方页岩气开发过程中，长宁-威远及昭通区块在体积压裂中出现了不同程度的套管变形[2]。针对此问题，国内外学者对体积压裂中套管弯曲应力放大影响做了相关研究[3-5]，然而研究并未对体积压裂过程中套管弯曲应力放大产生机理做详细的阐述[3-4]。已有关于弯曲应力放大的研究主要集中于钻柱弯曲[6]，其产生机理与体积压裂过程中套管弯曲应力放大不同，难以借鉴。Catherine Sugden对体积压裂中套管弯曲应力放大做了研究，但其计算中未考虑套管自重影响，同时研究未对影响体积压裂套管弯曲应力放大因素做分析。本文在分析体积压裂工艺特点、现场相关数据的基础上系统阐述了体积压裂过程中套管弯曲应力放大的诱因，同时根据材料力学理论建立了体积压裂中套管弯曲应力放大计算模型，推导了弯曲应力放大计算公式，并结合实例分析弯曲应力放大对套管抗外挤强度的影响。

一、弯曲应力放大诱因

页岩气藏开发以水平井为主，固井时由于高密度油基钻井液不易冲洗顶替和隔离，井壁及套管壁上附着油膜难以清洗，不利于水泥石的胶结。同时一次性上返固井作业油层套管封固段长超过4 000 m，易混浆，油基钻井液难以顶替等因素使水平段固井质量较低，导致水泥环虚空段产生。此外，长水平段处套管下入困难，套管居中度难以保证(如图1测井分析所示)，使固井质量更加难以保证，部分井段存在水泥环虚空段。

图1 YSH 1#井套管居中情况分析

页岩气井体积压裂过程中，由于压裂施工排量大、压裂液注入时间长等因素导致井筒急剧降温并诱发套管轴向拉应力[3-5]，水泥环虚空段弯曲套管在轴向拉力作用下的变形受到水泥环边界约束，导致在虚空段水泥环与套管交界处(图2中A点与B点处)产生弯曲应力放大效应，弯曲应力放大使套管强度降低，恶化套管受力环境。分析可见，体积压裂中套管弯曲应力放大效应是压裂中井筒降温引发轴向拉应力和固井质量不足产生的水泥环虚空共同作用结果，水泥环虚空为套管弯曲应力放大提供了必要的空间条件，轴向拉力最终使虚空段水泥环交界处套管承受更高的拉-弯应力。

图2 水泥环虚空段套管弯曲应力放大

二、弯曲应力放大模型

1.基本假设

考虑水泥环虚空条件下弯曲套管受力特点，依据材料力学平面梁弹性理论，取图2中水泥环虚空AB段套管为研究对象，建立力学模型。计算中设定套管在无轴力作用时处于居中状态，单位长度上的横向载荷为qsinβ，L为φ对应的AB弧长。端点A、B两点固定且该两点处井眼曲率不变，不计套管受力条件下径向位移及扭转。轴向拉力作用下套管弯曲应力放大模型计算参数，如图3所示。

图3 套管弯曲应力放大模型

基于模型假设条件，根据力矩平衡原理及绕曲线微分方程建立轴向拉力下套管弯曲应力放大计算模型为：

(1)

式中：E—套管弹性模量，MPa；I—套管截面惯性矩，m4；M—弯矩，kN·m；p—轴向拉力，kN；VB—套管支持力，kN；q—线自重，kN/m；β—AB段平均井斜角，°。

2.拉-弯应力推导

根据力矩平衡原理，对O点取力矩可得力矩平衡方程为：

M=MA=MB

(2)

同理，对A点取力矩可得力矩平衡方程为：

VBΔx=MA-MB-pΔh

(3)

(4)

根据弯曲梁正应力计算公式可得轴向拉力下套管弯曲应力计算公式为：

(5)

三、实例计算

利用上述模型计算轴向拉力下水泥环虚空段套管弯曲应力。以长宁-威远页岩气区块H井为例，体积压裂注入液初始温度为5℃，地温梯度0.025℃/m，施工井直井段长度2 978 m，水平段长度2 978～4 580 m，气层段套管直径为139.7 mm，弹性模量E=1.3032×105MPa，套管线自重q=298.6 N/m，水泥环虚空段长度9 m，最大井斜角89. 83°，狗腿5°/30 m，截面惯性矩I=0.897×10-5m4，套管钢级P110。

图4 拉力与弯曲应力放大关系

根据图4计算结果可以看出，随着轴向拉力增大套管拉-弯应力显著增大，常规弯曲应力计算由于未考虑轴向拉力影响套管弯曲应力未增大，计算模型如式(6)[7]：

σ=Ecr

(6)

式中：E—弹性模量；c—套管曲率；r—半径。

当套管轴向拉力增大到698 kN时，拉-弯应力值达到39.25 MPa，是常规弯曲应力计算值5.71 MPa的6.8倍。可见，压裂过程中井筒降温引发轴向拉力可使水泥环虚空段弯曲套管承受更高的拉-弯应力。

图5 狗腿角与弯曲应力放大关系

同时，论文计算分析了狗腿对弯曲应力放大的影响。由图5可见，随着狗腿角的增大套管弯曲应力放大值不断增加。然而，水泥环虚空段长度对套管弯曲应力放大影响较小，虚空段长度从10 m增加到140 m过程中，套管弯曲应力值变化幅度极小，如图6所示。综上可见，套管轴向拉力、狗腿对弯曲应力放大有较大影响，水泥环虚空段长度对弯曲应力放大影响较小。

图7计算结果选取钻井手册弯曲应力推荐经验计算公式、材料力学杆件弯曲应力计算公式和本文推导轴向拉力作用下拉-弯应力计算模型进行对比计算分析。通过计算显示，当狗腿角从1°增加到20°过程中，钻井手册中计算方法由于仅适用在小角度情况，狗腿角进一步增大弯曲应力计算值明显不符合工程实际。弯曲杆件理论计算结果未考虑实际工况，计算结果不能真实反应工程情况。本文推导拉-弯应力计算模型考虑体积压裂中井筒降温产生的轴力和水泥环虚空条件，对套管弯曲应力计算更贴近实际。

图6 虚空段长度与弯曲应力放大关系

图7 弯曲应力与角度关系

应用本模型对体积压裂中套管抗外挤强度进行校核分析。根据表1计算结果可见，体积压裂施工过程中拉-弯应力与压裂泵压联合作用下套管抗外挤强度降低23.7%，套管抗外挤安全系数由1.52降低为1.16，已经低于三轴安全系数规定值1.125～1.25最高值[7]，严重危险套管安全，在体积压裂过程中极易诱发套变。算例井体积压裂过程中井筒降温情况如图8所示。

表1 附加应力下套管抗外挤强度分析

图8 H井体积压裂井筒降温情况

四、结论与建议

(1)本文系统阐述了体积压裂过程中套管弯曲应力放大的诱因，建立了轴向拉力下套管弯曲应力放大的计算模型，分析认为轴向拉力和狗腿角是影响套管弯曲应力放大的主要因素，水泥环虚空长度影响较小。同时，应用模型对页岩气井体积压裂中套管抗外挤强度计算显示，体积压裂中拉-弯应力与压裂泵压联合作用下套管抗外挤强度降低23.7%，套管抗外挤安全系数已经低于三轴安全系数规定值最高值，严重威胁套管安全，在体积压裂过程中极易诱发套变。

(2)结合体积压裂过程中套管弯曲应力放大的影响因素，本文建议性技术对策有：提高固井质量，避免水泥环虚空可以有效避免套管弯曲应力放大产生；合理控制井眼轨迹，降低狗腿，可降低体积压裂中套管弯曲应力大小。