熔融沉积丝截面模型及轮廓偏置算法研究

周 朕，刘 凯，王扬威

1 引言

熔融沉积成型（Fused Deposition Modeling，FDM），由于其安全、快速和成本低廉的特点，是目前快速成型工艺中使用最为广泛的一种技术。但是，FDM成型还存在加工精度不高、加工效率低下、成型件机械性能较差等缺陷[1]。在影响FDM成型件加工质量的因素中，扫描轨迹间距和丝截面宽度不匹配，会影响零件轮廓的准确生成[2]，而轮廓轨迹则直接影响整体的尺寸精度。因此需要对丝截面进行分析，根据丝截面尺寸，来指导轮廓扫描路径规划。

2 FDM成型丝截面模型

快速成型的基本原理是通过层的堆叠来形成实体，对于成型精度的问题，每层的误差会随着层的叠加而累积，因此分析熔融丝材的铺放情况对改善FDM加工精度有重要意义。

2.1 丝截面模型对扫描精度的影响

扫描间距和丝截面宽度不匹配，会产生各种成型缺陷。因此需要分析丝截面的形状和尺寸，来指导扫描路径规划。

以常用的平行填充路径为例，当扫描间距等于丝宽时，熔丝密致铺放；当扫描间距大于丝宽时，出现“栅格”状缺陷；当扫描间距小于丝宽时，相邻两条熔丝产生干涉。

文献[3]分析了FDM成型过程中丝截面的形状，综合考虑了熔融状态材料受到的挤压作用，为建立丝截面模型提供了一定的指导。文献[4]提出了一种“鼓”形的截面模型，提高了FDM成型的精度。基于上述理论，对丝截面模型进行改进，进一步提高成型精度。

2.2 出丝工艺分析

FDM成型加工中，广泛采用了摩擦轮送丝的方式，将丝材不断送至加热腔内加热至熔融态，最后材料通过喷嘴，呈丝状被挤出。熔融状态的丝材，按照一定的轨迹在当前层进行铺放，熔融的材料粘接、冷却后形成实体。在铺放的过程中，熔融状态的丝材还未冷却，上表面和下表面受到挤压而呈现平面，之后材料开始冷却，截面形状基本不再改变。影响截面形状和尺寸的工艺参数有，扫描速度、挤出速度、加热温度、成型室温、喷嘴直径等[5]。

现有的一些简单截面模型，将丝截面简化为一个矩形或者圆角矩形[6]。通过加工试验分析得知，丝截面并非是矩形或者圆角矩形。不合理的丝截面模型会随着层数的累积而引入较大的加工误差。结合粘弹性理论和聚合物流变学理论[4]，以及具体的FDM加工试验，提出了截面形状，如图1所示。

图1丝截面模型Fig.1 Model of Section of Filament

图1 所示截面中，分为3个区域。I区域和III区域外轮廓均为样条曲线，其形状和丝截面高度有关，为了便于分析计算，需要对截面进行合理简化。

2.3 丝截面模型的建立

首先是对丝截面模型的轮廓进行合理简化。从截面所在平面看，两侧边为二次曲线，顶边和底边为直线。二次曲线的形态和加工的工艺参数密切相关，不易求得其表达式，因此将二次曲线简化为圆弧，来建立截面模型。

如图1所示，二次曲线AED，直线AJ、JD分别和曲线AED相切。由样条几何[3]可知，令 δ=EK/JK，则有 δ∈（0.05，0.5）时，曲线AED 为椭圆；δ=0.5 时，曲线 AED 为抛物线；δ∈（0.5，0.95）时，曲线AED为双曲线。δ值也反映了曲线AED的曲率，其值越大，曲线AED曲率越大。

曲线AED的具体形式受到工艺参数的影响，而未知的样条曲线不便于分析计算，因此采用圆弧来进行简化处理，如图2所示。

图2 丝截面模型处理Fig.2 Operation on Model of Section of Filament

图中：O1、O2—圆弧AED和圆弧BFC所在圆的圆心，∠AO1D=α，∠BO2C=β，r—圆弧半径；H—丝截面高；W—丝截面宽；L—矩形部分宽度；S—截面积。

式中：S、SI、SII、SIII—截面积。

实际加工中，需要将挤出速度调至略大于扫描速度，两者相互匹配才能使得成型情况较好[7]，因此实际从喷嘴挤出的熔丝直径应大于喷嘴直径d[8]，用系数k处理。

由截面积相等，得到：

联立式（1）、式（2）两式得：

即：

式中：S、S0—截面积；k—出丝膨胀系数；d—喷嘴直径；H—分层高度；W—丝截面宽度；α—模型角度参数。

分析得到角α∈（0，π），则W∈（L，L+H）。再次简化处理，取α=π/6作为模型参数，即可计算得到d和W的关系式。

2.4 丝截面模型的修正

熔融状态的丝材受到挤压被挤出喷嘴，由于加热腔内存在一定的压力，当材料被挤出后，管壁对其压力瞬间丢失，熔融态材料内部压力导致丝材膨胀，使得出丝直径变大。

试验通过改变温度和挤出速度，将材料从喷嘴均匀挤出，通过散热风扇进行降温，以此获得圆柱形截面的丝条，并利用千分尺测定了出丝直径数值，如图3所示。

图3 温度对出丝直径的影响图Fig.3 Diagram of Temperature’s Effect on Filament Diameter

由图3可知，温度对出丝直径的影响较小。挤出速度越大，出丝直径越大，即k值越大。这是由于挤出速度越大，加热腔内部压力越大，材料内部压力也越大，因此导致膨胀后出丝直径越大，试验结果和理论设想一致。

虽然上述试验不能直接求得出丝直径和加热温度、挤出速度的代数关系，但由于FDM加工通常是选定一个温度来进行加热，对于PLA通常是180°C左右，此外非高速FDM成型基本上挤出速度设定在（30～60），故 k值可以选定在（1.1～1.2）。

2.5 丝截面模型的验证

丝截面的形态和挤出速度、加热温度、成型室温、喷嘴直径、分层厚度、材料属性以及上层表面粗糙度等有关系[9]。

对于PLA材料而言，丝材直径为1.75mm，密度为1290kg/m3、弹性模量为（3000～4000）MPa、线收缩率为（0.2～0.4）%，熔融温度范围为（130～215）°C，成型室温 30°C[10]，试验采用喷嘴直径 0.4mm，使用0.3mm的层高分层处理，在平面上进行单层铺放，利用千分尺测量单条熔丝的宽度，得到以下数据，如图4所示。

图4 温度对丝宽的影响图Fig.4 Diagram of Temperature’s Effect on Width

由图4可以看出，随着温度升高，W变大；随着挤出速度提高，W 变大。其中，由式（4），以及选定 k=1.13（180°C，30mm/s），计算得到W=0.56mm，而直接采用喷嘴直径的模型得到W=0.40mm，采用矩形模型计算得到W=0.53mm，图4中所示W=0.558mm左右，故丝截面模型尺寸数据接近，且误差较小。故丝截面模型合理可行，能够提升成型精度。

3 轮廓偏置算法设计

FDM工艺过程中，轮廓扫描轨迹的生成对于精度有重要影响，轮廓轨迹决定着零件的几何尺寸，影响表面质量，因此需要结合丝截面宽度和材料属性综合进行分析。

3.1 轮廓偏置补偿处理

为了FDM成型件冷却至室温后可以得到较高的尺寸精度，需要对每一层截面进行尺寸补偿。根据上述分析，补偿针对两个方面，由于丝宽引起的尺寸误差以及材料冷却收缩引起的尺寸误差。对模型截面尺寸进行一定的调整，使得经过FDM加工成型，冷却得到尺寸精度较高的模型零件。

设计补偿公式为：

式中：C—补偿量；

W—丝截面宽度；

Δl—收缩量。

利用C值对轮廓线进行处理，可以得到补偿后的轮廓。

3.2 轮廓偏置算法

图5 轮廓偏置图Fig.5 Diagram of Contour Offsetting

轮廓偏置补偿值由C计算得到，利用C值对轮廓进行补偿后，通过轮廓偏置算法来生成内环轮廓。下面简要说明轮廓计算过程。首先在对零件截面进行分区后，即分为多个“凸多边形”区域，而求解轮廓则是求解各个“凸多边形”顶点的位置坐标。

XOY直角坐标系，确保多边形所有顶点均位于第一象限。已知点Pi-1（xi-1，yi-1）、Pi（xi，yi）、Pi+1（xi+1，yi+1），其均为“凸多边形”的顶点，如图5所示。

Pi-1Pi方向和PiPi+1方向的单位向量为：

式中：ai、bi、ai+1、bi+1—向量坐标。

联立式（7）、式（8）两式，并变换回原坐标系中，求得交点为：

式中：W—偏置向量wi的模。

其中，当偏置向量位于坐标系第一、第二象限时，式（9）中的n为2，否则为1。故需要给定偏置向量的方向来确定n的取值。即判断当前层未填充区域的位置，也就是确定向量和的所在象限。

假设已知“凸多边形”区域各个顶点坐标P1至Pn，几何中心为点C，其对应的向量表示为，则由式（10）可以计算得到几何中心坐标。

3.3 加工试验

为了验证丝截面模型和轮廓偏置算法，设计“凸”字形的零件进行FDM成型加工，根据丝截面模型下的轮廓偏置算法来规划扫描路径，反映实际零件在该算法下的成型精度，如图6、图7所示。

图6 零件设计图Fig.6 Design Drawing

图7 试验及加工照片Fig.7 Picture of Test and Machining

其中图7展示了试验及加工照片，据此可以测量出丝直径以及熔丝宽度等参数。经过FDM成型加工，利用游标卡尺测量得，a=30.08mm，b=19.96mm，c=10.09mm，d=10.08mm，e=10.07mm，f=2.08mm，g=10.04mm。可见实际尺寸和理论尺寸较为接近，基于该丝截面模型的轮廓偏置算法，可以在保证轮廓致密的同时，提升成型精度。

4 结论

（1）在分析影响丝截面形状尺寸的基础上，总结出丝截面并非是基于喷嘴直径的圆形，同时结合实际加工现象提出压力导致出丝发生膨胀的理论。在研究FDM成型工艺的基础上，提出了一种简化的截面模型。（2）提出了基于上述截面模型的轮廓偏置算法，综合考虑材料的冷却收缩和丝截面尺寸，可以提高成型件尺寸精度。（3）通过试验表明，出丝形状尺寸受到各个工艺参数的影响，工艺参数需要不断优化来进一步提高成型质量。