二维控制的数码相机分步检校方法研究

吴 伟，吴兆福

1 引言

近景摄影测量重点研究利用影像来确定目标物的形状、大小及空间位置关系，被广泛应用于工业制造、建筑工程、生物医学等诸多领域。摄影测量与遥感在数字地球中扮演着十分重要的角色[2]，随着数码相机技术的不断发展和完善，普通数码相机已经逐步成为近景摄测量的主要工具。因为它相对于传统的光学相机具有体积小、质量轻、适应性强，大大降低了设备费用，简化了工作流程，便于信息管理和分享等特点[3]。但是，数码相机不具备记录内方位元素的功能，没有外部定向装置，导致影像获取的几何质量不佳。为了解决数码相机构象误差比较大的问题，人们提出了对数码相机进行量测化检校的方法，其关键是相机量测性能测试和构象畸变参数的确定[4]。目前常用的量测化检校方法有三维控制的光线束检校算法（BCT算法）和二维控制的直接线性变换算法（二维DLT算法）[5]。建立三维精密控制场需要专门的技术和场地，相对而言，二维控制场的建立没有三维的纵深要求，二维控制场可以小型化，而且费用更低，制作更简便，因此，基于二维控制的相机检校运用更为广泛[6]。基于二维控制的相机检校存在一个问题，所有的控制点位于同一个平面上，在对所有未知数进行整体平差解算过程中，会发现相机参数之间出现强相关性，导致解算精度大大下降，甚至出现不定解情况。

鉴于上述情况，对二维控制的数码相机分步检校方法进行了研究，将内方位元素与外方位元素分开解算，避免平差方程出现不定解情况，并验证了该法方法的可行性。

2 二维控制的数码相机分步检校方法

2.1 基本原理

二维控制场是由经过特殊加工绘制于硬质材料平板上的方格网，在方格网上绘制对称分布的格网点并编号，格网中存在大量的直线特征。所提的检校方法的基本理论就是：假设影响数码相机构像的误差只有构像畸变差，那么对于物方空间直线的构像，经过畸变差改正以后仍为一条直线[7]。

2.2 直线参数的解算

根据基本原理，物方空间直线的构象经过畸变差改正以后仍为一条直线，其参数方程表示为：

式中：x、y—像点的像片坐标；Δx、Δy—径向和切向模型中像点坐标构象畸变差改正值[8]；ρ—原点到直线的垂直距离；θ—直线斜距的余角。

式中：r—像点到原点的距离；x0、y0—像主点的像片坐标；k1～k3—径向畸变参数；p1、p2—偏心畸变参数。

从式（1），式（2）分析可以发现，要想解得相机畸变参数以及像主点坐标（x0，y0），必须先解算直线参数（ρ，θ）。像片上的直线参数我们是不知道的，但是控制场中的直线是已知的，那么我们可以通过透视变来求解。

根据物方点表示像点的透视变换公式[9]，将相片坐标视为观测值，顾及构象畸变差改正后的误差方程式为：

式中：a1～a8—透视变换参数。

通过平差后可求的8个投影变换系数的最小二乘解。

解算过程中需要格网控制点坐标以及对应的没有畸变差的像点坐标来计算8个投影变换系数，但是此时并没有不含畸变差的像点坐标，我们已经知道了普通数码相机的成像畸变规律[10]，靠近像幅中心的点畸变较小，且畸变呈对称分布，那我这里我们选用相片上距像幅中心较近且呈对称分布的4个控制点来解算投影变换系数初始值，可以有效抵消畸变差对其结果的影响。

得到投影变换系数就确定了物方坐标与像方坐标的转换关系，因而可以利用控制平面的物方点求出对应像方点的坐标，从而可以求出各条直线的参数（ρ，θ）。

2.3 畸变参数的解算

直线参数求解以后，（1）式中就只剩下畸变参数为未知数了，则方程可改写为：

将其线性化后为：

经过平差计算可获得5个畸变差的最小二乘解值。

我们可以看到，在解算畸变参数的时候，用到了前面解算的直线参数，在解算直线参数的时候，我们是选用像幅中心附近的对称分布的4个格网点作为控制点来减弱畸变差对解算透视变换参数的影响，但是不可能完全忽视畸变差的影响。因此，在获得畸变参数之后，应反过来对控制点坐标进行构像畸变改正，而后再次利用新的控制点坐标解算投影变换参数以及直线参数，如此迭代的方式，直至结果满足要求。流程图，如图1所示。

图1 数码相机畸变参数解算流程图Fig.1 Flowchart of Digital Camera Distortion Parameter Solving Process

2.4 内方位元素检校

2.4.1 像主点检校

获得畸变参数之后，就可以结算相机内方位元素，将式（1）看作为关于（x0，y0）的函数，展开后为：

根据二维控制场中的对称点，经过平差可求的（x0，y0）的最小二乘解值。

从以上计算过程可知，在检校畸变参数的时候用到了像主点坐标（x0，y0），而在计算像主点坐标的时候也用到了畸变参数。因此在计算过程中可以用到循环交替解算。首先将（x0，y0）的初始值设置为（0，0），利用已经解算得到的直线参数，可以解算出畸变参数 k1、k2、k3、p1、p2，然后利用畸变参数对像主点（x0，y0）进行修正，而后再用修正后的像主点计算畸变参数，如此循环，直到像主点解算结果稳定为止。

2.4.2 相机主距检校

在基于二维控制场的相机检校中，如果相机主距和相片外方为元素Zs都为未知数的时候，在同时解算的过程中两者之间会出现强相关，可能出现不定解的情况。假如Zs已知，那就不存在强相关的这种情况。但是，普通数码相机不同于专业测量相机，其外方为元素是不可知的，Zs是不能直接通过测量获得的。然而，我们可以通过严格控制数码相机在拍摄时候的位置变化，得到两次拍摄时候的拍摄距离变化量ΔZs，并将其作为观测值，此时就不存在同时解算相机主距f和相片外方为元素Zs的情况，就不会出现不定解，可以准确的解算相机主距f。拍摄方式，如图2所示。

图2 获得摄站距离差的拍摄方式Fig.2 Photography Mode of Getting Distance Difference of Photography Center

在拍摄过程中，应保证相机相对于控制场只有Zs发生改变，那么就采用移动控制场或者移动相机的方式，让相机像平面尽量保持与控制场平行，只有拍摄距离Zs发生改变ΔZs的情况下拍摄两张相片，此时三个旋转角φ，ω，κ均为小值。

通过共线条件方程变形整理可得：

式中：只有ΔZs是可以通过量测得到的。未知数有外方位元素Xs1、Ys1、Xs2、Ys2、φ1、ω1、κ1、φ2、ω2、κ2和内方位元素 f。可以看出，这里我们避免出现同时解算外方为元素Zs和内方位元素f的情况，因而能够精确稳定求解f。将式（8）线性化后可得其误差方程式为：

内方位元素主距检校具体解算过程总结为：首先利用结算出来的畸变参数对像片点进行畸变差改正，之后便可以利用透视变换求解外方为元素Xs、Ys；然后利用二维控制场与两张相片上对应的多条直线解算f的初始值，通过反复迭代，便可以解算出相机主距和两张相片对应的三个旋转角φ、ω、κ。

3 实验分析

3.1 影像获取

拍摄所用的二维控制场采用绘制在平面上的方格网，每个方格大小为（50×50）mm，整个格网为（10×16）格，将格网的左下角格网点设为坐标原点，横向为x轴，总想为y轴，很容易得到所有格网点的坐标，在个网上对称的标出一些格网点的编号，利用这些控制点进行相机检校。

实验所用相机为佳能5D MarkⅢ，有效像素为2230万，4.4倍光学变焦镜头，可像素分辨率可达（5760×3840）。根据拍摄要求，为保证拍摄过程中内网为元素的稳定，需要将相机物镜调焦至无穷远且保持固定不变。

拍摄用于解算相机畸变参数和内方位元素像主点坐标的像片，尽量使像平面平行于二维控制平面，拍摄一张影像，从而保证解算过程中旋转角度都尽量小。控制平面影像，如图3所示。

图3 控制平面影像Fig.3 Image of Control Plane

拍摄用于解算相机主距的像片，首先保持像平面尽量平行于控制场，通过仅仅改变拍摄距离的方式拍摄两张影像，并测量获得拍摄距离间隔ΔZs。这样的拍摄过程可认为旋转角均为小值。拍摄过程，如图4所示。获得的相应影像，如图5所示。

图4 拍摄方式Fig.4 Mode of Photography

图5 原始影像Fig.5 Original Image

3.2 结果分析

为了证明二维控制的数码相机分步检校方法的实用性，把检校获得的相机参数代入到多基线数字近景摄影测量系统lensphoto中，作为已知值使用。经过解算后比较控制点的实测坐标和计算坐标，可以得到计算精度，从而判断该方法分实用性。本实验测区为合肥轨道交通2号线上的天柱路车站基坑，位于合肥市天柱路与长江西路交汇路口，基坑长度为200m。宽为20m，检测对象为基坑支护结构冠梁，在冠梁上布设了8个控制点，检测区域布设了6个监测点。将全站仪实测坐标设为真值，得到的控制点坐标残差，如图6所示。由上可得到坐标残差平均值及其中误差，如表1所示。从表1可看出，结果满足工程测量要求。

图6 控制点坐标残差/mmFig.6 Coordinates Residuals of Control Point/mm

表1 坐标残差平均值及其中误差/mmTab.1 Average Value and Mean Square Error of Coordinates Residuals/mm

4 总结

本章提到的基于二维控制场的相机分步检校方法，将强相关的未知数分步解算，避免在同一个误差方程中解算像主点（x0，y0）和外方为元素（Xs，Ys）；或者将其中的一个未知数通过转换变成可以直接测得的，比如巧妙的利用像片拍摄方式，将解算过程中未知的外方为元素Zs转化为精确量测得到的ΔZs，因此在利用最小二乘解算误差方程的时候不会出现不定解的情况，有效消除二维控制中内方位元素与外方为元素的相关性和影像姿态参数旋转角对畸变参数解算的不良影响。