函数套函数，图象反复看

余建国

通过考查函数零点，既可以综合考查函数的图象与性质，又可以考查等价转化和数形结合的数学思想，所以这类问题往往用在小题“压轴”上.热点追踪表明，一个函数已“不够难”了，两个函数“套”起来！如求类似于f（f（x））的零点，分两步，先解方程f（x）=0，若其中一根为x0，则再解方程f （x）=x0所得根即为f（f（x））的零点.

例1 如图，偶函数f（x）的图象如字母M（如图1），奇函数g（x）的图象如字母N（如图2），若方程f（f（x））=0，厂（g（x））=0的实根个数分别为m，n，则m+n=

分析 解方程f（f（x））=o，实际上将f（x）图象看两次：先看f（x）=0，如一根3/2，再看方程f（x）=3/2的根，此时需要注意x0是否在f（x）的值域内，还需要注意方程f （x）=x1，f（x）=x2，…所得到的根是否重复.

解析 由图象知，f（x）=0有三个根：0，±3/2.所以，由f（f（x））=0，得f（x）=o或f（x）=±3/2.而f（x）=±3/2无解，所以m=3；同理，由f（g（x））=0，得g（x）=0或g（x）=±3/2.由g（x）的图象可知，方程g（x）=0，g（x）=3/2，g（x）=-3/2都有3个根，所以n=9.所以m+n=12.

例2 若函数f（x）=-Inx+ax2 +bx-a-2b有两个极值点x1，x2，其中-1/2o，且f（x2）=x2>x1，则方程2a[f（x）]2+bf（x）-1=0的实根有_____个.

分析 这里套了两个方程：2ax2+bx-1=0和f（x）=x0，其中x0是方程2ax2 +bx-1=0的根.联系极值点x1，x2，发现方程2ax2 +bx-1=0的两根就是x1，x2，于是分别再解方程f（x）=x1，f（x）=x2.当然，这里的x1，x2在函数f （x）的值域的什么位置决定了它们解的数目.

解析 f'（x）=-1/x+2ax+bx=（2ax2+bx-1）/x，x>0

由f'（x）=0，得2ax2 +bx-1—0.（*）

由题意，该方程的两个根为x1，x2，即O

由韦达定理，得x1+x2=-b/2a，x1x2=-1/2a.

因为 -1/20，所以x1x2>1，从而x1>0，x2>1.

又由f'（x）的符号可知，f（x）在（0，x1）上为减函数，在（x1，x2）上为增函数，在（x2，+∞）上为减函数.所以，f（x）在x=x1处有极小值，在x=x2处有极大值.

易知，当z→0时，f（x）→+∞；当x→+∞时，f（x）→-∞.f（x）的图象如图3所示.

由方程（*）可知，方程2a[f（x）]2 +bf（x）-1=0等价于f（x）=x1或f（x）=x2：.

因为f（x2）=x2，所以结合图象可知，方程f（x）=x2：有2个根.

因为f（x）在x=x1处有极小值，在（0，x1]上为减函数，在（x1，x2）上为增函数，所以在（0，x2）上，f（2）在x=x1处取得最小值，且0 <1

因为b>0，所以f（x1）<0

根据单调性，这5个根互不相同，所以原方程有5个实根.

反过来，如果这种“套函数”的零点个数有要求，求参数的取值范围怎么办？其实还是“分解动作”，只是由于参数未知，图象未定，我们看到的图象必须是能“动”的，想象动态图象，找到符合要求的位置，从而确定参数满足的条件（不等式组）.

例3設函数f（x）=log2（-x），x<0，2x，x≥0若关于x的方程[f（x）]2-af（x）=0恰有三个不同的实数根，则实数以的取值范围是

分析 方程[f（x）]2-af（x）=0等价于f（a）=0或f（x）=a.分别考查这两个方程的解的个数，并注意不重复即可.

解析 由方程[f（x）]-2af（x）=0，得f（x）=0或f（x）=a.

由方程f（x）=0，得x=-1.

当a≥1时，方程f（x）=a有两个根，且一个非负，另一个小于-1；当a

综上，实数a的取值范围是[1，+∞）.

总结：“套”函数的零点分解为解两个方程，需两次观察函数f（x）的图象.注意：①方程f（x）=0的根x0是否在函数f（x）的值域中，如果在，还需将x0与f（x）的极值、端点值等比较大小；②合并根的个数时看看是否不重复，通常由函数的单调性决定.当然，解决这类问题时画图是必须的！