向量具有“两面性”，思考常有“两视角”

陈小红

平面向量具有代数的特性，例如它可以用坐标表示，两向量的共线、垂直、数量积都可以利用坐标来判断或表示.平面向量又具有几何的特征，例如它本身可以用有向线段来表示，两向量的和、差都可以通过几何的方式作出来等等.正是因为平面向量的“两面性”，所以思考与解决平面向量相关问题往往会有“两视角”.下面，我们举例说明.

两种视角的评析代数的视角，是将向量的数量积坐标化，最终转化成一元不等式恒成立问题，这种转化方法比较直接，也容易想到，其缺点是字母运算多，计算量大；几何的视角，將向量的数量积为正，转化成点P在以OM为直径的圆外，再由点P的任意性，转化成直线AB与以OM为直径的圆相离，这样的转化比代数视角要困难一些，更加递进一个层次，但是计算要容易得多，后面又有两种视角转化直线与圆相离这个条件，其一是常规的做法，即利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系列出不等式求解，其二注意到问题的特殊性，根据AB⊥OM及图形，只要满足点0，M在直线AB的同侧即可，然后列出不等式求解.尽管几何视角对于平面向量的相关几何意义的要求较高，但这种方法对问题背景揭示得更为深刻，本例中利用几何视角解题关键是要能想到PO·PM >O的几何视角的转化！既然明白了PO·PM>O的几何意义，那么理解PO·PM =O，PO·PM

结语 转化与化归的思想几乎贯穿了数学解题的始终，并且很多问题转化的方向不是单一的，尤其是与向量相关的问题.向量具有“两面性”，思考常有“两视角”——代数视角与几何视角.因此同学们应该常常从不同的视角去解读同一个问题，往往会找到不同的突破口，甚至可以比较得出好的解法，加深对问题的本质的理解！