理解一个概念，胜过解十道题

任念兵

16、17世纪之交，自然科学（特别是天文学）的研究中经常遇到大量精密而庞大的数值计算，改进数字计算方法成为当务之急，对数的发明“以缩短计算时间的方式延长了天文学家的寿命”（法国数学家拉普拉斯语），因而成了“17世纪数学的三大成就”（恩格斯语）之一（另两项分别为解析几何的发明和微积分的发明）.了解对数概念的发生、发展历史，关键是感悟其中所蕴含的原创的数学思想，

一、对数发明过程中的关键事件

1.概念的萌芽

苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550～1617）在天文学研究中，为了寻求球面三角计算的简便方法，利用与质点运动有关的几何方法构造出对数，其核心思想表现为算术数列与几何数列（即等差数列与等比数列）之间的对应——由于该几何方法具有较强的技巧性，此处略去具体内容.

现在我们已经无法知道纳皮尔开始时是如何想到这一发明的，一种普遍的猜测是：由于他精通三角学，对积化和差公式cosA cosB=1/2[cos（A +B） +cos（A-B）]非常熟悉.两个三角函数的乘积用其他三角函数的和、差表示出来，而加减运算比乘除运算简单得多，这种积化和差公式提供了原始的运算优化方法，或许就是这种三角恒等式激发了纳皮尔的灵感.

1614年，纳皮尔在《论述对数的奇迹》中阐述了对数原理，后人将其称为纳皮尔对数，记为Nap.log x，它与我们现在熟知的自然对数的关系为Nap.log x=In（107/x）/ln（1-10-7）.当x→0时In（1-x）≈z，故In（1-10-7）≈10-7，Nap.log x≈lO-7ln （107/x）

2.概念的完善

英国数学家布里格斯（H.Briggs，1561～16 31）感到纳皮尔对数使用起来不方便，于是与纳皮尔商定，使1的对数为0，10的对数为1，这样就得到了我们现在熟知的常用对数，它在十进制的数值计算上具有极大的优越性.1624年，布里格斯出版了《对数算术》，公布了以10为底、包含1～20000及90000～100000的14位常用对数表.

17世纪的国际贸易空前发展，这就涉及大量的资金结算，典型的问题就是计算复利.比如本金P、年利率为r、一年结算n次（可以分别按1年、半年、1月、1周、1日结算一次），则1年后的本利和（按照复利计算）为s=P（1+r/n）n.为了简便起见，取P =1，r=1，则需要计算（1+1/n）n的值.随着n的增加，（1+1/n）”的值在增加，但是对结果的影响越来越小，记lim（1+1/n）n=e.现在已经无法知道，第一次使用e来表示lim（1+1/n）”的确切时间，最迟在1618年英国数学家爱德华·赖特（Edward Wright，1560～1615）在纳皮尔的《论述对数的奇迹》翻译版中就已经出现了.

自然对数的发现则跟圆锥曲线的求面积问题相关，虽然在古希腊时期阿基米德等人就已经会计算抛物线弓形的面积，但直到17世纪费马的时代，才有了圆锥曲线求面积问题一般公式，只有双曲线y=1/x除外.考虑y=1/x与直线x=a，x=b（a

3.概念的统一

现行高中数学教材是以指数的逆运算来定义对数的——准确地说，是以乘方（底数的指数次方等于幂）的求指数（相对于求底数）的逆运算来定义对数（相对于开方）的.事实上，纳皮尔讨论对数概念时尚无分数、无理数指数幂的概念，直到1637年笛卡儿才开始用符号a”表述正整数指数幂，直到18世纪初牛顿才将幂ax中的指数x推广到任意实数.后来，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并用指数的逆运算来定义对数，由于从逻辑上说指数概念更容易为人们所理解，因而欧拉关于对数的这种见解很快被人们所接受并流传至今.

对数概念的萌芽（纳皮尔对数）、完善（常用对数）、统一（指数的逆运算）正是一个数学概念由技巧到通法、从特殊到一般不断抽象的完整过程.

二、对数思想与高考题思路

对数发明时的原始思想是将乘、除运算简化为加、减运算，尤其是在“大数”的乘除运算中，这种思想的重要价值就体现出来了.

三、对数概念的广泛应用

就增长速度而言，指数函数最快（指数爆炸）、冪函数其次、对数函数最慢.如果增长太快，就要慢下来，对数的这项功能在地震震级的表示、视力的测量（标准对数视力表）等实际问题中都有广泛的应用，而对信息进行度量（量化）则是对数概念在信息时代的新的重要贡献.

1948年，克劳德·香农创立了数学信息论，用“lOg2”来刻画信息量的概念，比如，如何定义一个古代烽火台传递的信息量呢？事实上，它传递两种信息：燃起烽火意味着敌人来（用1表示），不燃烽火则表示敌人没来（用0表示）.在敌人来与不来的可能性一样的前提下，一个烽火台传递一个单位（比特）的信息量，数学上的表示就是log22=1.如果东面、南面各设置了一个烽火台，这时的信息状态有（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1）四种情况，其中第一个、第二个坐标分别表示东面、南面敌人来否的状态，这样四种状态传递的信息量为2比特，用数学符号表示就是log24=2.于是，看不见、摸不着的信息就变得可以度量了.

香农还天才地分析了信息量的大小和该信息发生的概率有关，提出了信息熵的概念，如果一条信息有n（n>l，n∈N）种可能的情形（它们之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为P1，p2，…，pn，则称H=f（p1）+f（p2）+…+f（pn）（其中f（x）=-log0x，x∈（0，1》为该条信息的信息熵.例如，为博美人一笑，有事无事天天燃烽火（概率大），那烽火台传递的信息量就小得多.

在对数的产生和发展的历史中，还有许多闪耀着人类智慧之光的创举，比如常用对数表的制作与三角函数表的制作相关，有兴趣的读者可以自己查阅资料.了解数学史，感悟数学概念发生发展的漫长过程中“火热的思考”，可以帮助我们站在更高的角度来看待相应知识，从而更深刻地理解数学.