雪泥鸿爪：时间里埋藏不了的经典题

孙毅坚

时间可以磨灭棱角，可以滴穿磐石，可以让当年执笔冥思的少年成为一位父亲，但智慧的光芒凝汇在岁月中，却能一代代留存下来，直至今日依旧让我们领略到数学所绽放之美。

这个暑假我遇见了不少有趣的经典老题，在这里分享两道.首先，来看这道1 975年南斯拉夫的数学竞赛题.

例1 在圆周上按任意顺序写上4个1与5个0，然后进行下面的运算：在相邻的相同数字之间写上0，而在不同的相邻数字之间写上1，并擦掉原来的数字，接着进行同样的运算，如此继续，证明：不管这种运算进行多少次，都不可能得到9个0.

思路分析 根据题目“任意”的条件，无法确定起始排列，所以很明显，本题应从反面人手，通过反证解答.同时也敏锐地捕捉到“4+5=9”提供的一个奇数应也有相应的作用，假设经过若干次运算最终得到9个0，那么上一步应是什么数字？再上一步呢？以此类推会不会产生不符合题干的局面？至此，本题已有眉目，

解答过程 假设进行了数次运算，第一次得到9个0，由条件知在相邻的相同数字之间写上0及第一次可推出上一步应为9个1，那么更上一步应为环状排列的0，1相间，但9为奇数，不可能使0与1数量相等，矛盾产生，可知假设不成立，则结论得证.

反思感悟 其实就难度而言本题并不大，但它富有灵性的思路让人会心一笑；除了计算，数学更多的是强大的理解和轻盈的思维.灵活与严谨，是数学的戟与盾，踏上战场哪一边都不能少.

那么，接下来加大难度，来看这道1986年中国数学奥林匹竞赛题.

例2能否把1，1，2，2，3，3，…，1986， 1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着2个数，…，两个1986之间夹着1986个数？请证明你的结论，

思路分析 一眼看去，本题仿佛是道非常庞大的题目，稍微将前几个列举一下，并不能得到什么规律，因此思路又回到了结论上.同样，本题的答案应为否，通过反证得出结果，大量的数必然需要排序寻找规律，分两头运用结果的矛盾性进行否定，整理运算找出潜在性质，本题可以开始解答，

解答过程 假设能排列成，将各数分别编号，由1至3972.

设两个“1”分别占了第a1及第a1+2号，两个“2”分别占了第a2和a2+3号……两个“k”（k∈{1，2，3，…，1986}）分別占了第ak和第ak+k +1号，

则各数所占的号码的和为：

（al +a1 +2）+（a2 +a2 +3）+…+（a1986+a1986+1987）

=2（a1+a2+…+a1986）+2+3+…+1987

=2（a1+a2+…+a1986）+1989×993，

或1+2+3+…+3 972

=3973×1986.

因为2（a1 +a2+…+a1986）+1989 X993为奇数，3 973×1 986却为偶数，

故矛盾，所以不存在题目所细述的排列.

所以原命题为否，

反思感悟 这道题十分地经典，引申出后来许多竞赛题，更是有一套自己的一般性结论，回顾解题过程，本题主要在于如何下手，正所谓“这条数学题已经超出了我的语文理解水平”，一旦确定后续问题便势如破竹迎刃而解了.再看思路，可以发现在假设反证、奇偶性分析等方面，本题与例1都有许多异曲同工之处.反证法在数学中经常运用.一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难，情况多或复杂，而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆.反证法的证题可以简要地概括为“否定一得出矛盾一否定”，即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定.

1986年，这是个远又不远的年份，巧合的是，当年的父亲正和如今的我是同样年纪.三十多年流去，教材更新，许多琐碎的纸页章节泛了黄、卷起角，可这短短几行的数学题，却越过时光的溪川，一路捧到我的面前，依旧闪烁着它亘古不变的灵性之美，宛若惊鸿一瞥.