反思与重构：MPCK视角下的数学概念教学

陈怡农

摘 要：本文以认识小数教学点再设计为例，探讨了基于MPCK视角下，小学数学概念教学的切入点，提出了MPCK视角下的小学数学概念教学的建议。

关键词：MPCK；数学概念教学；认识小数

一、何为MPCK理论

美国著名教育家舒尔曼在20世纪80年代提出了教师的专业知识结构理论，其核心要素是学科教学内容（Pedagogical Content Knowledge），简称PCK。香港学者黄毅英在此基础上提出把数学教师从事专业教学所应具备的核心知识成为（Mathematic Pedagogical Content Knowledge），简称MPCK。MPCK是由数学学科知识（MK）、一般教学法知识（PK）、有关数学学习知识（CK）以及教育技术知识（TK）融合而成的。

简单来说，MPCK就是数学内容和教育学、心理学、学习论的有关原理融合而成的，与教学相关的综合性知识，是关于某一领域的数学教学内容该如何进行表达、呈现和解释，从而转化成使学生更容易接受和理解的知识。核心就是如何将数学知识的学术形态转化为教育形态及学生的学习形态，以促进学生的数学理解，提高学生的数学能力和提升学生的数学素养。就教师的教学设计与课堂教学而言，MPCK理论是教师进行教学设计和课堂教学的基础，教师对教学内容的理解和把握程度，运用教学方法的适当程度以及课堂教学的效果如何，很大程度上取决于教师的MPCK。

二、MPCK视角下的概念教学

数学概念是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式。我们知道，数学概念是数学的基础，数学概念也是数学学习的起点，是进行数学推理、判断的依据模式，是建立数学定理、法则、公式的基础，是形成数学思想方法的基础，所以数学概念教学作为小学数学知识教学中最为基础和重要的部分，在课程教学中应给予充分的重视。在进行小学数学概念的教学设计时，教师可以运用MPCK理论突出概念的内涵、價值、本质，以此来指导概念的教学，评估概念的教学过程和教学效果。

基于PMCK视角的小学数学概念教学，教师应该思考“为什么要学？概念内涵是什么？其核心内容是什么？它又有哪些价值？学生在学习中可能存在哪些困惑？如何有针对性地解决？”诸如此类的问题。

三、小数数学概念教学设计中存在的问题

小学阶段，学生处于抽象思维能力和数学语言表达能力发展的初期，掌握集概括性和抽象性于一体的数学概念具有相当的难度。在实际教学中，小学数学概念教学存在这些问题：

1. 少理解，注重死记硬背。根据小学生思维的特点，他们对抽象的数学概念理解起来还是困难的，但小学生记忆能力却非常强，教师往往采用熟记背诵的方法让学生快速掌握概念。但由于学生没能理解概念的真正含义，所以无法正确运用。

2. 不具体，缺乏深层挖掘。小学阶段数学概念多采用描述性定义，看似简单容易，却缺乏对内涵的深层挖掘，不讲知识的来龙去脉，忽视概念的发展演化，把大量时间和精力放在练习上，所以导致学生反复做题却也反复出现错题，难以找出真正的错因，当遇到更难的题目时就会束手无策。

3. 难联系，无法互通连接。数学概念的建立主要有两种形式，即概念形成与概念同化的过程。我们应该知道，新概念是在旧概念的基础上引出的，建立概念时要把概念形成和概念同化结合起来，促进新概念和原认知结构中的知识联系。数学教材采用单元排列，各成篇章，例如“分数的认识”分散于三年级上册《分数的初步认识（一）》认识一个物体、一个图形的几分之一和几分之几，三年级下册《分数的初步认识（二）》把若干个相同的物体看成一个整体，认识整体的几分之一和几分之几，五年级下册《分数的意义和性质》则系统学习分数的意义和基本性质。教师如果不注意将这些知识串线组面成体，形成整体有序、联系明晰清楚的体系，学生学到的也将是一些孤立、分散的知识，学习效果将大打折扣。

以“认识小数”一课为例，三（下）“认识小数”内容是学生认识小数的开端，是对数系认识的一次重要扩展，由易到难、由简到繁的小数学习为学生第二学段系统教学小数的知识打下基础。虽说是初步认识，但我们还是着重于会认、会读、会写小数这些零碎的知识的“点”吗？我们也知道没有正式接触这部分内容的孩子，已经对小数知识有了较为丰富的生活中的感性认知。面对这样的情形，如果目光仅仅局限于这些知识点的认知，学生所获得的也不过是些基础性的知识，其丰厚的数学内涵会大大缩水。我们可以更深入地思考，为什么要学习小数？它与分数、整数有什么联系与区别？小数本身的特点与价值在哪里？除了面对数学本质的一些根源性问题，面对数学教育，我们也不禁要问：关于教学中知识的掌握、数学经验的提升、数学思维的培养等目标性问题，我们又有怎样的深入思考和深刻领悟呢？又如何在教学中突破数学学科核心素养的落实呢？

四、基于MPCK视角下案例的教学设计及思考

1. 认识小数概念的地位与作用

小数的产生在于测量实际的需要，需要联系生活中应用小数的实际事例，感受小数的意义。认识小数是认数的一次重要扩展，小数是十进制计数向相反方向延伸的结果，我们要通过十进位分数的模型来进一步理解小数。在认识小数之前，学生学习的几乎都是整数知识，“以前学过的表示物体个数的1、2、3……是自然数，0也是自然数，它们都是整数”。这部分内容则首次用列举的方式给出了自然数和整数的概念，这是对以前认数的一次归纳，也是学生“接受”小数的认知背景。与此相对的是，教材指出“0.5、0.4、1.2、3.5都是小数”也用列举的方式第一次给出“小数”这个名词及其含义。初步学习小数的知识为第二学段系统学习小数的知识打下基础。

2. 运用MPCK理论进行认识小数再设计的几个基本环节

环节1：透过小数，我们看到的是一种“需要”。

（1）出示直尺上能丈量出整分米数的长与宽的长方形。

（2）对比出示另一个长与宽略小的长方形，用直尺丈量不够整分米，试着把分米改为厘米作为单位，分别用分数和小数表示。

【设计意图】学习小数是需要链接生活的，链接生活的目的不仅是要唤起孩子已有的经验，更是需要制造心理冲突，只有让学生在解决问题中感受到认知矛盾，才能真切体会小数出现的必然性。我们安排了“由图形的长与宽用尺量得整数的长度数据”到“图形‘不好丈量了，怎么办”，学生根据自己的经验会想到继续更小地分，由此我们可以看到小数是计数沿向内方向的延伸，我们再通过引导学生根据分米与厘米之间的换算，让学生较容易找到小数十进制的来源。

环节2：通过小数，我们获得的是一种“沟通”。

（1）从三个长方形中选择一个你认为适合用阴影表示出0.4分米的图形。（图1）

（2）出示下面的图形让学生尝试用小数表示。（图2）

【设计意图】 小数和整数都符合“十进制计数法”的计算规则，是十进位制计数向相反方向的延伸；小数即是由分母是10、100、1000……的一类特殊的分数改写成的，分数和小数也都是以平均分为基础的，因此，可以说整数、分数、小数之间有着千丝万缕、密不可分的联系。如果说，在以往的教学中，十分之几就是零点几这样简单表面的分数与小数的对应，只是让孩子初步感知分数与小数之间的直接联系的话，那我们可以尝试让这种联系更具数学味道。我们通过两个问题，在具体解决问题中让孩子从数学本质上理解这种链接。第一个问题强调“平均分”，这是小数向内延伸的前提，也通过平均分让小数和分数产生必然的关联；强调十进制，因为小数是分母为10、100、1000……的特殊分数，由特殊再推到可分数为其他数值的小数，符合小学生的认知规律。第二个问题强调“小数还可以这样表示”，让孩子认识到，不论是以何种形式表现出来，都是我们熟悉的整数1，只要将“1”平均分成10份，几份就是零点几，透过表象聚焦本质的教学才能使我们借助几何直观进一步运用抽象的思维深入理解小数知识。

环节3：改写小数，拓宽的是一种“生长”。

（1）借助长方形表示出胶棒的价格。固态胶棒的价格是1.4元，怎么跟刚才遇到的小数不一样，并借助长方形表示出这个小数。（图3）

（2）像这样写下去，你还能写出哪些小数？

【设计意图】 由零点几到几点几是学生小数知识认知的发展。学生能利用1元4角是1.4元、3元5角是3.5元这些生活经验进行简单的改写，但这种简单改写并不能增加学生对几元几角改写成以元为单位的小数的理解。设计利用几何直观在学生的联想、尝试、达成共识中，通过不满1、超过1这样有层次的认知，突出合成小数的方式，强化内在逻辑，突出其同构关系的有机整体，让小数概念自然成长与发展。

环节4：进一步抽象小数概念。

联系本课出现的新的数，用举例的方式描述小数的含义，侧重强调一方面在形式上与整数不同，小数中间有小数点；另一方面在内涵上，一位小数表示十分之几。

【设计意图】 借助小数的产生，体验数系的扩充过程；借助小数这一特定的内容，沟通整数、分数和小数之间的内在联系；借助比较本课的几个不同但同属于一类的一位小数，发现共同点并从中进行概括，扩展认数的范围，形成了完整的数位顺序。

环节5：借助小数，打开的是一种“视角”。

（1）小結以及启发学生回想在生活中还接触过哪些分数。

（2）继续出示数轴，利用在数轴上的位置来认识数。（图4）

【设计意图】 借助直观考察，发现小数3.6和3.7之间的“空隙”，这使我们得到的计数单位越来越小，精确的程度也越来越高。小数使我们的计数更加精确，小数本身也越来越稠密了。这在一定程度上突破了小数对分数高度的“依赖性”，转而根据位置计数法进行自我的拓展。当然，由于学生第一次接触小数，所做的也只是浅尝辄止，但尝什么、怎样尝却大有讲究。我们希望达及本课贯穿的线索：小数虽“小”却很大，小数打开了我们认识世界的另一扇窗。

3. 基于MPCK理论视角下认识小数教学的再设计的思考与分析

从MK的角度分析，教师对数学概念教学要有清晰的认识，并且能从这个概念的数学形态中挖掘出它的教育价值，其包括知识和方法的应用价值，知识探索、形成或应用过程中的思维价值，学习过程中对于人的情感态度价值观形成的价值，这也是教好数学概念的必要条件。因此，从MK角度来考虑小数教学的再设计时，教师首先要考虑在认识小数的起始课中究竟想传达给学生什么：为什么要学习小数，怎样学习小数，学习小数后我们又有怎样的新的深入思考和深刻领悟……通过挖掘这些隐藏在教材知识背后，却又是对学生学习有着极其重要影响的问题来帮助学生理解小数的内涵和外延，并为教师重新设计教学做好铺垫。如每个环节的提炼语，突出每个环节的教学着力处。从环节1中呼唤新的数来解决实际问题，到环节2中沟通分数和小数的联系，进一步突出小数是一种特殊的分数形式，再从环节3中充分利用几何直观建构小数的意义，到环节4中抽象小数的概念，扩展认数的范围，形成完整的数位顺序，最后到环节5中小数认数的延伸，环环相扣，逐层深入知识本身，鲜明地表现出知识本身的内涵和学科特性。

从PK角度分析，教师结合学生的认知特点，恰当地选择适当的教学方法实施教学。在环节1中设置对比，在需要中启发学生寻找新的数来表达，自然呼唤小数的出现。在环节2中不断进行变式，突出小数和分数的联系，引导学生思辨，在理性思考中直击概念内涵。在环节5中再度启发学生思考，在小数不断延伸、余音未绝中给孩子留下学习思考的空间，也为今后高年级继续系统学习小数的意义和性质等内容做好铺垫。

从CK角度分析，教师尽可能深入全面地了解学生，掌握学生对数学概念学习的状况，关注学生的心理特征和学习差异，预测学生学习时可能会遇到的困难和障碍。因此，认识小数的再设计应立足学生的学习实际。环节1中，让学生在对比中产生认知冲突，并积极引导学生用新的数的表达来解决矛盾，再通过环节2和环节3，沟通小数和分数的联系，利用几何直观建构小数的意义，逐步完成环节4中小数概念的建构。在这个过程中，教师不仅仅是关注学生知识技能的形成，更重要的是培养了学生比较、分析、综合、归纳、猜想等思维能力。

从TK角度分析，结合所教的内容，合理借助现代教育技术，辅助概念的教学。在环节5中丰富呈现问题的方式，利用多媒体演示数轴不断被细分，计数单位越来越小，精确的程度越来越高，小数本身也越来越稠密的过程。在静态的小数中展示动态的发展过程，让学生在猜想、发现、验证中加深对小数的认识。

在小数概念的再设计中，我们运用MPCK理论，掌握这些知识的融合——MPCK。这样，当面对特定内容和特定学生时，教师才能采用有效的组织、呈现和调整方式，以达到更好的教学效果。