从模式到意义：数学知识的教学价值

朱向阳

摘 要：数学教学以其显著的学科特征而独具魅力，以《植树问题》教学为例，尝试、分析如何更优质地体现教学的价值。本文分三个层次阐述：一是从三类模型入手，分析其思维价值，对解决问题和培养孩子的分析、想象、比较以及借助模型思考的能力起到了积极作用；二是针对其问题及问题解决中孩子的困惑和困难，从模型到应用，引发植树问题教学的变式与转化；三是让模型回归意义，“植树问题”的根基和归属是除法意义和除法运算。数学学习，不仅要善于提炼结构、建立模型、分类解答，还需能透过现象，看清本质，不只是做“加法”，更要寻找解决思路的意义归属。

关键词：模式；意义；模型；思维价值；意义归属

数学具有抽象性、逻辑性等特点，数学知识之间的联系非常丰富，同样的知识，从不同的角度思考、理解不同的关联、设定不同的序列、采用不同的方式，其教与学有着显著的差异，对知识的理解和应用区别很大。

取向各异的理解、千差万别的思路、千变万化的教学，进而各不相同的效果，构成了数学教学的独特魅力，如何更优质地体现教学的价值，值得我们探索。

下面以《植树问题》的教学为例，如何让数学知识体现更好的教学价值。

一、从情境到模型：三类模型的思维价值

“植树问题”是数学中一个经典的教学内容，具有突出典型性和广泛应用性。教学中一般通过对植树情境的比较分析，抽象概括“棵数和段数”的关系，构建三种不同数量关系的模型，建立解决此类问题的模式。

教例1：

出示问题：“在全长1500米的小路一边植树，每隔5米栽一棵，一共需要多少棵树苗？”

师：我们一起来种一下（边画边说：先种一棵，画一段；再种一棵，又画一段……）

师：有什么感觉？

生：种不完，数据太大了。

师：可以将数据变小，改为“在全长15米的小路一边植树”。

（学生列式计算，画图验证。）

生：15÷5=3（段），3+1=4（棵），或15÷5+1=4（棵）。

师（画图时特意开头没种）：15÷5=3（棵），可以吗？

生：不同意，开头没种。

师：开头没种是有“苦衷”的，遇到了一幢房子。

生：那这样是可以的。

师：还有其他种法吗？

生：两头都不种，苦衷——两边都遇到房子。

小结：3种情境，两端都种，只种一端，两端都不种。（完成板书，文字、图示、算式、关系式）

两端都种：15÷5+1=4（棵），棵数=段数+1。

只种一端：15÷5=3（棵），棵数=段数。

两端都不种：15÷5-1=2（棵），棵数=段数-1。

师：再看第一个问题。有几种情况？不知道“苦衷”在哪儿？（两端都种，只种一端，两端都不种）

……

教师利用数形结合的方式，借助“一一对应”地画图，理解棵数与段数的关系，建立三种模型，渗透了数形结合、一一对应、模型思想等。

学生在解决问题时首先应确认这是一个植树问题，明确“什么是树”“总长多少，间隔多少”，其次思考“属于哪种类型”，最后利用模型公式计算出结果，解决问题。

有了三种基本模型，分析问题就有了依据，思考对策就有了路径，解答问题就有了方法。由此，在解决问题的过程中培养了孩子分析、想象、比较以及借助模型思考的能力。

应该说，三种基本模型确实对解决问题、培养思维能力起到了作用，然而，其中也存在问题且问题明显。

二、从模型到应用：问题解决的变式与转化

在问题解决中，孩子有许多困惑：种树只有这三种情况吗？如果不止，为什么就只概括这三种模型？

学生的学习困难也很明显：准确识别“树”；正确识别类型。为了解决这些问题，教师利用了变式练习和转化思想。

教例2：

就问题变化，安排如下题目：

（1）在全长1500米的小路一边植树（两端都种），每隔5米栽一棵，一共需要多少棵树苗？

（2）在全长1500米的小路一边植树（一端不种），每隔5米栽一棵，一共需要多少棵树苗？

（3）在全长1500米的小路两边植树（两端不种），每隔5米栽一棵，一共需要多少棵树苗？”

（4）在全长1500米的小路一边植树（两端都种，但有两个种树位置刚好遇到电线杆），每隔5米栽一棵，一共需要多少棵树苗？

（5）在全长1000米的小路一边植树（一端不种），一共种了200棵树，相邻两棵树之间的距离是多少米？

（6）在小路一边间隔5米种树，种了200棵树（两端不种），这条小路全长多少米？

（7）两位工人要将一根10米长的木头锯成2米一段，需要锯几次？

（8）淘气家住五楼，两层之间有20级台阶，淘气上楼回家要走多少级台阶？

……

在分析这些变式练习时，将问题转化为与三种模型相应的结构，然后“对号入座”解决问题，确实是一个不错的办法。

然而，问题依然存在。比如：在全长1000米的小路一边植树（两端都种），先每隔5米栽一棵杨树，再每隔10米栽一棵樟树。需要多少棵杨树？多少棵樟树？

三、让模型回归意义：植树问题的本质意义

我们不禁思考：数学知识的学习，不能只做“加法”，更重要的是建立知识间的有效“关联”。这种关联既能增强知识间的联系，加深理解，还能提高运用的灵活性。

植树问题一定要作为一类独立问题来研究嗎？三种模型与孩子之前所学知识及认知结构有无联系？如有联系，如何更有效地建立这种关联，降低难度，提高融合？

比较三种模型，我们可以发现，要解决棵数问题，首先要求出段数，然后利用对应关系调整棵数。

于是，我们思考“植树问题”的根基和归属：除法意义和除法运算。实际上，“植树问题”最基本的要素是“段数”，求段数的问题属于“一个数里面有几个几”的问题，是除法意义中的一种，也即“包含除”问题；确定棵数，需要根据生活现实进行“调商”。

可以安排如下的解决问题序列：

（1）求“段数”——根据除法的意义，就是求“几里面有几个几”。

（2）求“点数”——点数是与段数客观对应的，线形“段数+1”，环形“等于段数”。

（3）求“棵数”——树种在点上，几个点上种树就是几棵；或者减去不能种树的点，就可以得到能种的棵数。

教例3：

1. 欣赏算式：24÷5=4.8。

师：用这个算式可以解决哪些问题？（可以编平均分、包含除等题）

出示：（1）24千克大米，平均装在5个袋子里，每个袋子装多少？

（2）24位同学租车到科技馆，每辆车坐4人，需要租几辆车？

（3）24米布做服装，5米做一套，可以做几套？

师：解决这三个问题，用同样的算式，得到同样的计算答案，为什么结果不同？

生：算出结果，还要根据实际情况调整商。

2. 出示算式：20÷5=4。

师：结果是整数，还需要调商吗？

生：应该不用了。

3. 出示问题：在一条20米长小路的一边植树，每5米种一棵树。

（先自己在纸上画一画。）

师：20÷5=4，4表示什么？

生：4表示段数。

师：树种在哪儿？可以种几棵树？

生：树种在每个“点”上，有4+1=5（点），可以种5棵树。

师：点数一定比段数多1吗？

生（先是犹豫）：一定的。（段数+1=点数）

师：这些“点”就代表种树的洞，有几个“点”就可以种几棵树。有5个点，一定是种了5棵树吗？

生（犹豫）：不一定吧！

生：我知道，有两头都种、一头种一头不种、两头都不种。

（学生上来摆出三种情况。）

师：只有这三种情况吗？

（生犹豫，师移动房子位置到不同的点，孩子感受到现实中的多种可能。）

师：比较种5棵、4棵、3棵……各种情况，有什么相同的地方？又有什么不同？

生：每种情况，其实算出的段数都是相同的，点数也相同，就是能种的棵数不同。

师：虽说“树”种在“点”上，但“种的棵树”不一定就等于“点数”，因为有的“点”不能种树，需要根据实际情况调整。你现在认为，“植树问题”是研究什么的问题？

生：段数、点数、棵数关系的问题。

师：植树问题怎么解决？

生：先计算出段数就知道点数了，再减去不能种树的点数，求出能种树的点数，就是棵数。

试一试：同学们在一条全长100米的小路一边植树，每5米栽一棵（只种一端）梧桐树，一共要栽多少棵梧桐树？

师：“只种一端”是什么意思？

生：有一个点不能种树。

（思考并解答，求“种几棵树”，就是求“有几个点种树”。）

（变式：“100米”为“200米”“n米”；“只种一端”为“两端不种”“有5个点遇到电线杆”。）

师：在生活中，你有看到过、听到过和植树问题相类似的情况吗？谁是树？谁是点？哪个是段？

（出示生活中的图片：装路灯、摆花盆、设站点、敲钟点、借图书、爬楼梯、画停车线、……）

师：“植树问题”一定是和植树有关的问题吗？

生：不一定。可以看作和种树一样的情况。

4. 拓展练习。

（1）一条绳子长42米，每3米剪一段跳绳，可以剪几根？需要剪几次？

（2）5，8，11，14，…，47，共有几个数？

（3）5路公共汽车行驶路线全长12km，相邻两站之间的路程都是1km。一共设有多少个车站？（线形路线，环形路线）

植树问题就是除法的应用问题，其基础在于根据除法意义算出“段数”，其关键在于明白树是种在“点”上的，其重点在于根据实际情况“调棵数”。它与之前的“调商”问题的不同之处在于，虽然根据除法意义算出的“段数”是整数，与“段数”对应的“点数”也是整数，但“棵数”与“点数”间的对应依然因实際情况有所差异。

数学学习，善于提炼结构、建立模型、分类解答很重要，但更重要的是，还要能透过现象看清本质，不只是做“加法”，而是要寻找解决思路的意义归属。