算两直线交点坐标解圆锥曲线解答题

李 宁

(海南省海南中学 571158)

在圆锥曲线解答题中，有时候需要算出两直线的交点坐标来参与下一步的求解. 而此时的直线往往是动直线，直线方程含有参数，算出来的交点坐标往往结构比较复杂. 为了能够顺利算出交点坐标，可向学生介绍解线性方程组的克莱姆法则.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知A为椭圆的左顶点，过椭圆C内一点M(1,0)作斜率为k1的直线l与椭圆C交于P,Q两点，若点N为△APQ的外心，直线ON的斜率为k2，求证：k1·k2为定值.

(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2)，直线l：x=my+1，代入x2+4y2=4，

整理得：(m2+4)y2+2my-3=0，

又A(-2,0)，则AP的中垂线方程为(x+2)2+y2=(x-x1)2+(y-y1)2，

(1)求椭圆的方程；

(1)求a,b的值；

(2)求证：直线MN的斜率为定值.

①假设AC,BD，AD,BC四条直线的斜率均存在.

②若AC,BD，AD,BC四条直线中有直线斜率不存在，由题意此时只能有一条直线斜率不存在.

不妨设直线BD斜率不存在，此时D(-2,1)，直线AC：y-1=k1(x-2).

令x=-2，解得此时M点坐标(-2,1-4k1).

综上所述，直线MN的斜率为定值.

如果直线斜率结构比较复杂，可先不急着将斜率的内容代入直线，而是挂着斜率k算出交点坐标，然后再将斜率具体的内容代入坐标化简.