圆锥曲线高考题型分析

崔 文 侯宇虹

(1.山东省文登第一中学 264400;2.山东省威海市南海高级中学 264400)

圆锥曲线是高考必考考点，备考时兼顾基础与应用，循序渐进，提升解题能力.

一、考查圆锥曲线的定义与性质

A.2 B.4 C.6 D.8

分析 设抛物线方程为y2=2px(p>0)，圆的半径为r，然后计算得出p的值.

评注 把抽象的问题具体化是解决此类的问题的最佳方法.

A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<1

C.m1 D.m

分析 根据焦点重合，可知C1、C2焦距相等，得出m与n之间的关系；然后分别写出e1与e2，分析e1e2与1的大小关系.

评注 圆锥曲线的性质侧重考查基本量a、b、c的关系，椭圆中有a2=b2+c2，双曲线中有c2=a2+b2，不要记错.基本量考查渗透在每个题目当中.

二、考查离心率

评注 离心率是高考的一个热点题型，多与其它知识点结合考查，备考时要格外关注.新课标Ⅰ卷理第5题，新课标Ⅲ卷理第11题、文第12题，浙江卷理第7题，山东卷理第13题、文第14题，都是考查离心率.

三、考查轨迹方程

例5 已知抛物线C:y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点，交C的准线于P,Q两点．

(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；

(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

分析 (1)证明AR与FQ的斜率相等即可；(2)首先表示出△PQF和△ABF的面积，得出一个关系式，在此基础上进行后续研究.

记过A,B两点的直线为l，则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.

(1)由于F在线段AB上，故1+ab=0.

记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则

所以AR∥FQ.

(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，

设满足条件的AB的中点为E(x,y).

当AB与x轴垂直时，E与D重合.

所以，所求轨迹方程为y2=x-1.

评注 本题的难点在于正确的表示出△PQF和△ABF的面积，得出D点的横坐标为1.本例属于直接法求轨迹方程.新课标Ⅰ卷理第20题(Ⅰ)为定义法求轨迹方程.

四、定值(定点、定直线)问题

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|·|BM|为定值.

(2)由(1)知，A(2,0),B(0,1)，

当x0=0时，y0=-1，|BM|=2,|AN|=2,

所以|AN|·|BM|=4.

综上，|AN|·|BM|为定值.

评注 定值(定点、定直线)问题是高考的常见题型，大多涉及直线和圆锥曲线的位置关系，对运算能力要求较高.新课标Ⅰ卷文第20题(Ⅰ)，北京卷文第19题，江苏卷第22题(Ⅱ)(ⅰ)，四川卷文第20题(Ⅱ)，山东卷文第21题(Ⅱ)(ⅰ)，均属于定值(定点、定直线)问题.

五、参数取值范围问题

(1)当t=4,|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；

(2)当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．

分析 (1)由|AM|=|AN|，可求出k=1，求出面积即可；(2)分别表示出|AM|和|AN|的长度，然后根据2|AM|=|AN|，得出关系式.

因为|AM|=|AN|，k>0，

4k2-k+4=0无实根，所以k=1．

因为2|AM|=|AN|，

六、对称问题

例8 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p>0).

(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q，

①求证：线段PQ的中点坐标为(2-p,-p)；

②求p的取值范围.

分析 (1)由直线l过抛物线C的焦点，可知焦点坐标，得出抛物线的方程；(2)①因为点P和Q关于直线l对称，可设其方程为y=-x+b.联立y2=8x与y=-x+b，得出中点坐标，同时中点也在直线l上，得PQ的中点坐标为(2-p,-p).②由p+2b>0可得.

所以抛物线C的方程为y2=8x.

(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2)，线段PQ的中点M(x0,y0).

因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为-1，则可设其方程为y=-x+b.

因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2,从而Δ=(2p)2-4(-2pb)>0，化简得p+2b>0.

因为M(x0,y0)在直线l上，所以x0=2-p.

因此，线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).

②因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,

所以-p=-(2-p)+b，即b=2-2p.

评注 对称问题关键是利用斜率乘积等于-1设出对称点所在直线的方程，然后求解.解答时必须注意判别式Δ>0.

七、存在性问题

(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示)；

(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

分析 (1)利用弦长公式可得；(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q，满足|AP|=|AQ|，得出a的取值范围.正难则反解决问题.

(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q，满足|AP|=|AQ|．

记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.

由于k1≠k2,k1,k2>0得

评注 本题采用正难则反的思想.原来探讨“圆与椭圆至多有3个公共点”，而我们知道圆与椭圆最多有4个公共点，所以先研究4个公共点时a的取值范围，然后求补集即可.新课标Ⅰ卷文第20题(Ⅱ)也是存在性问题.

八、证明类比得到的结论

(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；

(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得∣PT∣2=λ∣PA∣· ∣PB∣，并求λ的值.

方程①的判别式为Δ=24(b2-3)，由Δ=0，得b2=3.

此时方程①的解为x=2.

点T坐标为(2,1).

设点A，B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).

评注 本例是类比圆中的切割线定理得出的一个结论.四川卷文科第20题是类比圆中的相交弦定理得出的一个结论.此两题成为2016年高考圆锥曲线解答题的一个亮点.

圆锥曲线因其具有丰富的性质，而备受高考命题专家青睐.圆锥曲线问题也是对数形结合能力、运算能力、逻辑分析能力的综合考查，理清命题规律，方可运筹帷幄.