线段上连续非混沌自映射某类点的性质

赵 勇

（西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充 637009）

0 引 言

一维动力系统，特别是对线段I上的连续自映射的研究，几十年来，吸引了无数数学工作者和数学爱好者的兴趣并投身于研究当中。尤其是Li-Yorke混沌定义的提出，更是引起了人们进一步研究的狂热，在此研究过程中，人们得到众多重要的研究方法和结论，逐步形成了较为完整的理论体系，使得线段上自映射迭代研究成为了动力系统特别是一维动力系统领域中一个重要的分支。但就目前为止，线段上自映射迭代的研究中还有很多亟待进一步发展和突破的问题。其中最重要的，最有挑战性，最具有吸引力的就是“混沌的本质是什么［1］？”混沌的本质是什么，人们虽然从混沌定义的简化等多个角度得到了若干充分条件或必要条件［1-11］，但均未能有效解决问题。本文将继续在前人及作者前文［4-8］研究结果和思路的基础上，去探索线段上连续非混沌自映射周期点集的重要性质。文中出现的符号参见文献［4］。

1 预备知识

引理 1［4］设 f为线段 I上的连续自映射，X∈ϖ （f）-P（f），若存在 k1，k2，k3∈ N，使得：fk3（X）＜T2＜fk2（X）＜T1＜fk1（X），T1，T2∈ I且为 f的不动点，则 f在 I上必有非2的方幂的周期点。

引理2［6］设f为线段I上的连续自映射，f在I上满足Li-Yorke混沌定义，则P（f）不是闭集。

引理3［8］设f为线段I上的连续自映射，周期点集不闭且f在I上只有2的方幂的周期点，则对任意X∈ω（f）-P（f），orbf（X）具有统一的规律。即存在自然数 nX，使得｛fn（X）｝n＝1，2，…，从第 nX项开始 orbf（X）以：1（1）→ 4（2）→2（2）→3（2）→1（1）→ … 或1（2）→3（1）→2（1）→4（1）→1（2）→ … 为周期节如此一直链接下去。其中 1（1），1（2），2（1），2（2），3（1），3（2），4（1），4（2）具体表示如下：

1（1）fm（X）＜fm+2（X）＜fm+3（X）＜fm+1（X）；

1（2）fm（X）＜fm+2（X）＜fm+1（X）＜fm+3（X）；

2（1）fm+2（X）＜fm（X）＜fm+3（X）＜fm+1（X）；

2（2）fm+2（X）＜fm（X）＜fm+1（X）＜fm+3（X）；

3（1）fm+3（X）＜fm+1（X）＜fm（X）＜fm+2（X）；

3（2）fm+1（X）＜fm+3（X）＜fm（X）＜fm+2（X）；

4（1）fm+1（X）＜fm+3（X）＜fm+2（X）＜fm（X）；

4（2）fm+3（X）＜fm+1（X）＜fm+2（X）＜fm（X）。

定义1［7］（Li-Yorke）混沌定义设f为线段I上的连续自映射，若满足下列条件，则称f在I中是Li-Yorke混沌的：

（A）：PP（f）无上界：

（B）：存在I中的不可数子集S，使得：

其中 x≠ y，f1（x）＝f（x），…，fn+1（x）＝f（fn（x）），n∈ N，不可数集 S称为 f的混沌集，（B3）不满足的点x称为f的渐近周期点。（包括周期点）。

定义2［7］设f为线段I上的连续自映射，若满足下列条件，则称f在I中是Li-Yorke混沌的：

（B）：存在I中的不可数子集S，使得：

其中 x≠ y，f1（x）＝f（x），…，fn+1（x）＝f（fn（x）），n∈ N，不可数集 S称为 f的混沌集，（B3）不满足的点 x称为f的渐近周期点（包括周期点）。

2 主要结论

定理1 设f为线段I上的连续自映射，f的周期点 P（f）不是闭集，则f的周期数之集PP（f）无上界。

证明：

1.若f在I上有非2方幂的周期点。则根据沙可夫斯基定理，有PP（f）无上界。

2.若f在I上只有2的方幂的周期点。我们用反证法证明PP（f）无上界。

假设 PP（f）有上界，则存在自然数n0，使得对任意的n∈PP（f），都有n≤2n0，根据引理3，对任意的X∈ω（f）-P（f）及正整数2n0，存在自然数 nX，2n0，使得 orbf2n0（fnX，2n0（X））以 1（1）→ 4（2）→ 2（2）→ 3（2）→1（1）→ … 或1（2）→3（1）→2（1）→4（1）→1（2）→ … 为周期节无限链接下去。其中1（1），1（2），2（1），2（2），3（1），3（2），4（1），4（2）具体表示如下：

1（1）fm（X）＜fm+2·2n0（X）＜fm+3·2n0（X）＜fm+2n0（X）；

1（2）fm（X）＜fm+2·2n0（X）＜fm+2n0（X）＜fm+3·2n0（X）；

2（1）fm+2·2n0（X）＜fm（X）＜fm+3·2n0（X）＜fm+2n0（X）；

2（2）fm+2·2n0（X）＜fm（X）＜fm+2n0（X）＜fm+3·2n0（X）；

3（1）fm+3·2n0（X）＜fm+2n0（X）＜fm（X）＜fm+2·2n0（X）；

3（2）fm+2n0（X）＜fm+3·2n0（X）＜fm（X）＜fm+2·2n0（X）；

4（1）fm+2n0（X）＜fm+3·2n0（X）＜fm+2·2n0（X）＜fm（X）；

4（2）fm+3·2n0（X）＜fm+2n0（X）＜fm+2·2n0（X）＜fm（X）。

我们不妨假设 orbf2n0（fnX，2n0（X））以1（1）→4（2）→2（2）→3（2）→ 1（1）→ … 为周期节无限地链接下去。则从 fnX，2n0（X）项开始（令 m ＝nX，2n0）有：

1（1）fm（X）＜fm+2·2n0（X）＜fm+3·2n0（X）＜fm+2n0（X）；

4（2）fm+4·2n0（X）＜fm+2n0（X）＜fm+3·2n0（X）＜fm+2n0（X）。

故存在 y1∈ （fm+2·2n0（X），fm+2n0（X）），使得：f2n0（y1）＝y1，又由于

故存在 y2∈ （fm（X），fm+2·2n0（X）），使得：f2·2n0（y2）＝y2，又 PP（f）以2n0为上界，故有：f2n0（y2）＝y2，从而 y1，y2为 f2n0的不动点。考虑：fm（X）＜y2＜fm+2·2n0（X）＜y1＜fm+2n0（X），根据引理 1，f2n0在 I上具有非2方幂的周期点，故f在I上也有非2方幂的周期点，从而PP（f）无上界。这与假设矛盾。故假设不成立，即在定理1的条件下，PP（f）无上界。证毕。

根据定理1，结合引理2，我们可以从另一个角度简化Li-Yorke混沌定义：

推论1 定义1与定义2等价。

证明：由引理2，我们知线段I上的混沌映射f的周期点集PP（f）不是闭的，再由定理1，我们知PP（f）无上界，所以，定义1的条件（A）：PP（f）无上界可以略去，即定义1与定义2等价。证毕。