基于背景值及数字图像相关方法的土样剪切带宽度测量

王学滨,董 伟,侯文腾,杜亚志

(1 辽宁工程技术大学 a计算力学研究所，b力学与工程学院，辽宁 阜新123000;2 中原工学院 建筑工程学院，河南 郑州 450007)

剪切带是材料变形、破坏过程中塑性应变高度集中的狭窄区域。剪切带的出现会降低材料的承载力，甚至会影响结构的稳定性。因此，剪切带的研究对于理解材料的渐进破坏过程具有重要意义[1-7]。剪切带宽度是剪切带的重要特征之一，其准确测量有利于正确揭示材料的渐进破坏过程。

数字图像相关(digital image correlation,DIC)方法是20世纪80年代发展起来的一种光测力学方法，其通过处理变形过程中物体表面的散斑图来获得物体表面的位移场和应变场。DIC方法具有计算精度高、非接触、可测量全场变形等优势，在剪切带研究中发挥了重要的作用[3-7]。

王学滨等[1]利用粒子群优化与Newton-Raphson迭代的DIC方法获得应变场，并通过测量应变梯度带倾角及其在垂直方向上的长度，得到土在宏观裂纹出现之前应变局部化带宽度为3～5 mm。Viggiani等[8]使用数字照相技术测得饱和松砂剪切带宽度为平均粒径的10～25倍，并指出剪切带内存在剪胀现象。Alshibli等[9]采用两种技术测量了剪切带宽度，一种为利用数字照相技术根据包裹在试样表面的膜上扭曲的网格来计算剪切带宽度，根据这种方法测得的剪切带宽度为3.01 mm；另一种是对试样进行切片，利用电子显微镜获得孔隙比的分布规律，进而确定剪切带宽度，测得在试样轴向方向不同位置的剪切带宽度为3.19和3.29 mm。Nübel[10]利用高斯拟合方法测量了剪切带宽度，认为剪切带内应变呈正态分布或高斯分布，剪切带宽度为分布函数标准偏差的2倍。Röchter等[11]采用DIC方法，根据Nübel[10]提出的剪切带宽度测量方法，测得平面应变拉伸条件下干砂、高岭土及水的不同组合材料的剪切带宽度为平均粒径的5～11倍。张东明等[12]采用激光散斑方法，根据局部化带内外条纹间距测得的砂岩和泥砂岩的剪切带宽度分别为5和4 mm。Rechenmacher等[13]提出了考虑子区尺寸影响的剪切带宽度计算公式，采用DIC方法测得的平面应变压缩条件下4种砂的剪切带宽度为平均粒径的6～9倍。

纵观现有研究结果，有的研究人员采用的剪切带宽度测量方法较为繁琐，需要昂贵的设备，例如切片电镜扫描法[9]；有的精度较低，例如数字照相技术[6,9]；有的对于1个试样仅给出剪切带宽度的1个值[1,12]。目前，对于剪切带宽度的演变规律尚缺乏认识，亟需简单、高效的测量方法。本研究根据仿射变换和梯度塑性理论[14-15]制作了水平虚拟剪切带，检验了高斯拟合方法的剪切带宽度测量精度，提出了测量剪切带宽度的背景值方法，并测量了单轴压缩条件下土的剪切带宽度，旨在为剪切带宽度的精确测量提供参考。

1 基于高斯拟合方法的虚拟剪切带宽度测量

1.1 方法简介

Nübel[10]提出的基于高斯拟合方法的剪切带宽度测量方法的主要思想如下：首先，获得剪切带法向测线上的应变；然后，对测线上的应变进行高斯拟合；最后，根据拟合后得到的高斯函数的方差σ确定剪切宽度w，w=2σ。这种方法的核心是对剪切带法向测线上的应变进行高斯拟合，因此该方法被称之为高斯拟合方法。

1.2 方法检验

为了了解高斯拟合方法的剪切带宽度测量精度，以图1-a为源图像，根据仿射变换和梯度塑性理论[14-15]制作了水平虚拟剪切带，即水平常应变剪切带(图1-b)和水平含应变梯度的剪切带(图1-c)。图1-a图像的尺寸为384像素×128像素，水平常应变剪切带的剪切应变和水平含应变梯度的剪切带的平均剪切应变均为0.2，剪切带宽度均为30像素。

图1 源图像及变形后的图像Fig.1 Original images and deformed images

采用二阶DIC方法[15]分别计算图1-a变形至图1-b及图1-c时测线(图1-a)上的剪切应变。子区尺寸为31像素×31像素，测点间距为2像素。获得剪切带法向测线上的剪切应变并进行高斯拟合，得到的结果如图2所示，图2还给出了测线上的剪切应变的理论值。应当指出，本研究采用互相关函数作为相关系数的计算公式，该公式受散斑亮度、噪声以及子区尺寸的影响较小，总体性能较好，相关系数越大代表相关性越好，当取最大值1时代表完全相关。

对于水平常应变剪切带，测得的宽度为31.84像素；对于水平含应变梯度的剪切带，测得的宽度为19.56像素。对于常应变剪切带，利用高斯拟合方法测得的剪切带宽度接近于真实值，而对于含应变梯度的剪切带，测量值小于真实值，相对误差高达35%。众所周知，真实剪切带是含有应变梯度的。因此，对于真实剪切带宽度测量，高斯拟合方法适用性很差。

图2 利用高斯拟合方法测得的剪切带宽度Fig.2 Measured shear band widths by the Gaussian fitting method

2 基于背景值方法的剪切带宽度测量

众所周知，在变形过程中，剪切带内是应变较集中区域，应变增加较快，而剪切带外是应变较均匀区域。因此，若能获得带外区域的应变水平，则凡是应变水平高于该水平的区域，即可定义为剪切带。

3 土的剪切带宽度测量及剪切带宽度演变分析

3.1 试验过程及土的剪切带选择

利用固结法[16]制作若干长方体土样，在土样的一个最大表面喷制散斑。在试验机上进行土样单轴压缩试验，同时采用数码相机对包含散斑的土样表面进行拍摄。表1给出了10个土样的基本信息。图3给出了各土样的纵向应力-纵向应变(εa)曲线。

表1 土样的基本信息Table 1 Basic information of clay specimens

图3 土样的纵向应力-纵向应变曲线Fig.3 Longitudinal stress-longitudinal strain curves of clay specimens

采用二阶DIC方法[15]获得土样的应变场，子区尺寸为31像素×31像素，测点间距为10像素。根据土样出现微裂纹时γmax的分布选择的剪切带如图4所示。此时，每个土样中存在多条清晰的剪切带，根据清晰剪切带位置确定测量区域。每条剪切带以土样名、下划线加数字的方式命名，例如，“2-1”代表#2土样中的第1条剪切带。图4中各子图左方和下方的数字是测点的行数和列数。

3.2 土的剪切带宽度的测量

在选择的清晰剪切带两侧布置2个矩形框，利用这2个矩形框内的γmax计算背景值，在这2个矩形框及二者之间的区域布置剪切带的法向测线。以#8土样为例，利用背景值方法来测量剪切带宽度，矩形框的布置如图5-(a)所示，从点o至点p的方向为测线方向，测线op上的点的位置用坐标s表示。图5-(b)给出了纵向应变εa=0.174时利用高斯拟合方法和背景值方法测得的剪切带宽度。由图5-(b)可以发现，利用高斯拟合方法测得的剪切带宽度w1为19.5像素，而利用背景值方法测得的剪切带宽度w2为42.3像素(1像素约为0.09 mm)，后者约为前者的2倍。利用高斯拟合方法确定的剪切带边界处的γmax为剪切带内γmax峰值的一半。显然，利用高斯拟合方法会低估剪切带宽度，而利用背景值方法测得的剪切带宽度较为可信。

图4 根据γmax分布选择的10个土样的剪切带Fig.4 Selected shear bands according to distribution of maximum shear strains of 10 clay specimens

考虑到真实剪切带宽度会随着位置及εa的变化而变化，仅通过布置1条测线难以准确测得剪切带宽度。仍以#8土样为例，如图6所示，通过布置3条测线来测量剪切带宽度。其中，3条测线的切向坐标用s′表示，法向坐标用s″表示，测线2的1个端点o′为s′轴和s″轴的交点，测线1和2、2和3的距离均为40像素。

图5 基于高斯拟合和背景值方法的#8土样中的剪切带宽度的测量Fig.5 Measured widths of shear bands in #8 clay specimen by Gaussian fitting method and background value method

图6 #8土样不同测线上的剪切带宽度Fig.6 Measured widths of shear bands on different monitored lines in #8 clay specimen for different longitudinal strains

图6给出了利用背景值方法测得的3条测线上的剪切带宽度。由图6可以发现，对于不同测线，剪切带宽度随着εa的演变规律有所不同。对于测线1(即①)，当εa=0.045～0.116时，测线上的γmax均有所增加，且剪切带中心附近(测线中部)γmax增加较快，剪切带宽度逐渐增加；当εa=0.140时，测线上的γmax出现了双峰，剪切带宽度较εa=0.116时小；当εa=0.162时，测线上的γmax双峰变为单峰，剪切带宽度较εa=0.140时大。对于测线2(即②)，随着εa的增加，剪切带中心附近的γmax增加得较快，剪切带宽度有减小趋势。对于测线3，当εa=0.069～0.162 时，测线上的γmax增加得均较快，剪切带宽度基本不变。

上述结果表明，当测线位置不同时，测得的剪切带宽度有一定差异。因此，为了准确获得剪切带宽度，应布置多条法向测线，并对测得的不同位置的剪切带宽度取平均值。

3.3 不同纵向应变时的剪切带宽度

图7给出了图4中27条剪切带宽度随εa的演变规律。由图7可以发现，剪切带宽度与εa之间的关系可分为4种：第1种，随着εa的增加，剪切带宽度基本不变(图7-a)；第2种，随着εa的增加，剪切带宽度呈减小趋势(图7-b)；第3种，随着εa的增加，剪切带宽度呈增加趋势(图7-c)；第4种，随着εa的增加，剪切带宽度变化不确定(图7-d)。相比之下，第3、4种所占的比例较大。

图7 基于背景值方法的单轴压缩条件下土剪切带宽度变化Fig.7 Evolution of measured widths of shear bands in clay in uniaxial compression by the background value method

由图7还可以发现，27条剪切带宽度为15～38像素(1.35～3.42 mm)，宽度变化量最大的剪切带为2-1，变化量为13像素(1.17 mm)；宽度变化量最小的剪切带为24-2，变化量为1像素(0.09 mm)。

一直以来，人们认为剪切带宽度仅依赖于材料的内部长度[17-18]，是一个定值，这是基于梯度塑性理论的认识。大量试验结果表明，剪切带宽度与平均粒径有关[19-23]，但受诸多因素影响。有关的理论分析表明，剪胀会引起剪切带宽度的增加[24]。除了剪切带之间的相互影响之外，剪切带宽度的变化主要取决于剪胀与剪缩的博弈。目前研究表明，剪胀的机理主要包括以下几个方面[6,25-26]：裂隙的扩张效应超过闭合效应；在应力作用下颗粒间相互位置发生变化，增加了颗粒间的空隙；滑动块体在凹凸表面上抬升。对于本研究中土的剪切带而言，前两个方面是主要的，尤其是第二方面。第二方面可以解释图7-c中的现象；当颗粒间的空隙减小时，则可以解释7-b中的现象。若剪胀与剪缩达到了某种平衡，则可以解释图7-a中的现象；若剪胀间歇性占优，则将出现图7-d中的现象。

4 结 论

根据仿射变换和梯度塑性理论制作了水平虚拟剪切带，检验了高斯拟合方法的剪切带宽度测量精度，提出了测量剪切带宽度的背景值方法，并测量了单轴压缩条件下土的剪切带宽度。主要得到如下结论：

(1)利用高斯拟合方法能准确测量常应变剪切带宽度，而不能准确测量含应变梯度的剪切带和真实剪切带宽度。

(2)利用背景值方法测得的剪切带宽度较为可信。

(3)随着纵向应变的增加，剪切带宽度的演变主要有增加、减小、基本不变及不确定4种变化趋势，剪切带宽度为15～38像素(1.35～3.42 mm)。