时滞环形神经网络系统的Lyapunov稳定性

李敏, 赵东霞, 毛莉

(中北大学 理学院数学学科部，山西 太原 030051)

小世界网络是介于规则网络与随机网络之间的一种网络形式,通常在规则网络中引入随机不相邻节点之间的长联接获得.近年来的一些研究结果表明,在时滞神经网络系统中引入一个小世界联接能给系统带来复杂的动力学影响,分析小世界联接强度对系统稳定性的影响具有重要的理论与实际应用价值[1-6].文献 [7-8] 表明带有小世界联接的神经网络系统更容易被镇定,文献 [9-10] 表明小世界联接是控制系统的稳定性、hopf分叉以及混沌等动力学行为的一个简单有效的“开关”.如果小世界联接的数目增加为两个甚至更多,那么系统的动力学行为将表现出更为丰富的性质,基于此,本文建立带有两个小世界联接的时滞环形神经网络系统,采用Lyapunov方法研究系统的稳定性和参数条件,探究系统的动力学行为以及小世界联接权值对时滞系统稳定性的影响.

1 模型建立及系统的稳定性分析

本文研究如下带有两个小世界联接的四神经元时滞环形神经网络系统(见图1):

(1)

其中,xi(t)表示第i个神经元在t时刻的响应,k>0表示神经元的增益,f(u)=tanh(u)是神经元的激活函数,τ>0表示神经元之间信息传递的时滞值,bij表示第i个神经元与第j个神经元之间的联接权值,它所构成的方阵B为:

(2)

其中,c1=b31≠0、c2=b24≠0表示小世界联接强度.

图1 具有两个小世界联接的四神经元环状网络结构

考虑到双曲正切函数的有界性-1

(3)

则有:

(4)

因此,对于充分大的时间T,当t≥T>0时,有xi(t)≤Pi.

定理1 如果神经元的联接权值bij与增益k满足如下条件:

Ui=Φi+τMi<0

(5)

那么系统(1)的平凡解是全局渐近稳定的,其中

(6)

证明首先构造如下Lyapunov函数:

W=W(x1,x2,x3,x4)=

(7)

则对于x1,x2,x3,x4∈R,W连续且非负.函数W对时间的右导数为:

(-k) [f(x1(t))x1(t)+f(x2(t))x2(t)+f(x3(t))x3(t)+f(x4(t))x4(t)]+

b12f(x1(t))f(x2(t-τ))+b23f(x2(t))f(x3(t-τ))+

b24f(x2(t))f(x4(t-τ))+b31f(x3(t))f(x1(t-τ))+

b34f(x3(t))f(x4(t-τ))+b41f(x4(t))f(x1(t-τ))=

(-k) [f(x1(t))x1(t)+f(x2(t))x2(t)+f(x3(t))x3(t)+f(x4(t))x4(t)]+

b12f(x1(t))[f(x2(t-τ))-f(x2(t))+f(x2(t))]+

b23f(x2(t))[f(x3(t-τ))-f(x3(t))+f(x3(t))]+

b24f(x2(t))[f(x4(t-τ))-f(x4(t))+f(x4(t))]+

b31f(x3(t))[f(x1(t-τ))-f(x1(t))+f(x1(t))]+

b34f(x3(t))[f(x4(t-τ))-f(x4(t))+f(x4(t))]+

b41f(x4(t))[f(x1(t-τ))-f(x1(t))+f(x1(t))]

(8)

f(xi(t))xi(t)≥f2(xi(t)),a2+b2≥2ab

那么(8)式可化为：

(9)

考虑到0≤f′(u)=(tanh(u))′<1,则可对(9)式中的后六项进行如下放大：

同理有：

因此有：

(10)

其中,Φi、Qi如(6)式所示，而

(11)

同样的,再定义如下Lyapunov函数：

(12)

根据拉格朗日中值定理以及激活函数f(u)=tanh(u)本身及其导数的性质可得：

(13)

D+V(1)≤Φ1f2(x1(t))+Φ2f2(x2(t))+Φ3f2(x3(t))+Φ4f2(x4(t))+

U1f2(x1(t))+U2f2(x2(t))+U3f2(x3(t))+U4f2(x4(t))

(14)

其中,Ui(i=1,2,3,4)如(5)式所示.

综上可得,当U1,U2,U3,U4<0时,D+V<0,那么有V(t)≤V(0).因为x1(t),x2(t),x3(t),x4(t)在[-τ,)上是有界的,所以由(3)式可得在[-τ,)上也是有界的,故得xi(t→)=0.定理得证.

根据定理1,易得如下与时滞无关的稳定性结论.

定理2 如果神经元的联接权值bij与神经元增益k满足下面的不等式：

(15)

则可定义一个新的时滞值:

(16)

当时滞τ满足0≤τ<τ*时,系统(1)的平凡解是全局渐近稳定的.

下面考察两个小世界联接权值对系统稳定性的影响.由(6)式可得：

(17)

显然有,M1c1=c2=0

Mic1=c2=0

(18)

对于Φi,由(6)式容易看出

-Φic1=c2=0>-Φic1=0或c2=0>-Φi

(19)

综合(18)和(19)两式易得：

τ*c1=c2=0>τ*c1=0或c2=0>τ*

(20)

于是可得如下结论.

定理3 小世界联接缩小了时滞τ的全局稳定性区间,且随着小世界联接数目的增加,时滞τ的全局稳定性区间逐渐变小.

2 数值仿真

例1

(21)

显然U1,U2,U3,U4均小于零,那么根据定理1可得,此系统的平凡解是全局渐近稳定的,如图2所示,其中,初始值分别为x1(0)=1,x2(0)=0.8,x3(0)=0.6,x4(0)=0.5.

图2 系统(21)平凡解的渐近稳定性

此外,计算可得：

而例1中τ=1<τ*,因此根据定理2,系统(21)的平凡解全局渐近稳定.

3 总 结

采用Lyapunov方法分析了具有两个小世界联接的四神经元时滞环形神经网络系统的全局渐近稳定性,并证明小世界联接能够缩小系统的全局稳定性区间，该结果可以推广到具有n个神经元的时滞环状网络中.