数学解题教学设计的新视角
——以“国培计划”安徽省初中数学骨干教师培训为例

张 昆

（淮北师范大学数学科学学院，安徽 淮北 235000）

音乐人常常会发出这样的疑问：有同样的乐谱，也有非常相似的（或者就是用一个）乐器，为什么不同的演奏者会演奏出不同的音乐呢？与此相类比的问题是，对于数学教师来说，进入课程的数学知识一样，数学教师在入行之前所进行的示范受训也没有多大差别，为什么不同的数学教师在数学教学设计及其课堂实施时却出现不同的途径与方法，从而相应地产生了不同的教学效果呢？为此，我们从教师培训中的一个具体课例说起。

一、同课异构的一个课例

借助安徽省农村初中数学骨干教师“国培计划”集中培训的机会，作为培训教师，研究者有意识、有计划、有目的、有组织地仿照教科书与教师指导用书编制的数学教学内容，向受训教师出示解决问题的答案，要求他们选择教学策略与方法，先进行教学设计（需要分析教材、分析学情、分析教学目标、分析教学起点、分析后继环节与选择教学法的相关理论与理念等，这些要素的整合构成了数学教师的教学水平），然后依据这种教学设计模拟在课堂上无生授课。

基于这段教学内容及其规定的教学目标，研究者对受训教师提出了两项要求：其一，就这个问题进行教学设计；其二，就你的教学设计在课堂上进行模拟无生授课。

下面选择三位受训教师的三种典型的课堂教学模拟授课活动。（下文师生对话中的省略号表示受训教师估计学生思维暂时中断处。）

第一位教师（甲）的模拟授课采用的教学关键环节：

师：如何解决这个问题？

生：……

师：在比较两个数的大小时，我们可以使用哪些基本方法？

生1：由于这两个数都是正数，我们可以使用“数轴法”“作差法”与“作商法”。

师：很好！同学们使用这些方法试一试，看看可否解决问题？

（学生经由一轮运算，没有获得解决问题的具体途径。）

师：我们称这种比较大小的方法为“倒数变换法”。今天通过这个具体的例子，我们又发现了比较两个数大小的另一种方法——倒数变换法。

第二位教师（乙）的模拟授课采用的教学关键环节：

师：如何解决这个问题？

生：……

师：生3同学具有很好的数学问题探究能力，但是，这种推理不十分可靠，同学们还能够提出更具说服力的证据吗？

师：生4同学的想法很好，试图为序列①的结论再添新证据，不过要注意的是，其一，由②③的结论不一定能导出新结论；其二，大家知道，这种验证途径进行再多也不能保证序列①的结论随着被开方数的增大而逐渐减小的正确性。怎么办？大家可以想到一种很好的办法对基于序列①而得到的结论加以证实吗？

生：……

生5：由于序列①包含了无限多个数，这样的话，如此一个一个地验证就不可能彻底地解决问题。序列①可以表示成一般形式其中a 为正整数，于是，这样考虑④的变化情况就一网打尽了，由于（其中，a≥0），很显然⑤式的右边随着a 的增大而减小，从而生3同学构建的序列①及其结论是正确的。

师：大家经过合作研究解决了问题。难能可贵的是，同学们通过对这个非常具体的问题经过（生3与生5的）一步一步探究所得的材料，上升到抽象的层面上加以解决，这是一种非常了不起的创建，从中一定学到了许多东西，大家现在议一议（提示小结，略）。

第三位教师（丙）的模拟授课采用的教学关键环节：

师：如何解决这个问题？

生：……

生6：我们将它转化为有理数，通过有理化的手段来试试看，由于又 因 为于是，由⑥⑦⑧可以得到

生7：说明使用求倒数的方法比较两个数的大小。

师：好。我们姑且给这种方法起一个名字：倒数变换法。

这里我们比较详尽地展示了这三位数学教师的教学设计及其课堂实施全过程，从中我们可以找到这三种教学途径具有怎样的关系吗？

二、不同教学设计及其课堂实施所实现的目标分析

整个探究解决这个问题所获得的基础解题环节，就是教师乙的教学设计及其课堂实施启发了生3所表达出来的，它是根据比较大小，从关于这两个无理数所具有的特征（被开方数的差都是3）出发的。具体思维活动过程是，学生首先使用了类比与特例法（取比较的大小比较），发现由此而使用合情推理，得出序列它们的数值是随着被开方数的增大而逐渐减小的。由此可以认识到，生3的想法是启动思维的最初源头，后来，生4的验证只是这个序列①的一个特例而已，因此，没有提供创新的想法，似乎意义不大，但为生5萌生抽象的方法解决问题提供了心理上的跳板，因此，教师乙向其他同学推介这种想法还是具有价值的。

从序列①与生4想要更多验证想法的综合过渡到生5，从中也看到了教师乙的教学设计及其课堂实施的功夫与高超水平，对于序列①所提出的个别验证永无止境，生5 的想法恰恰就是想将这个序列①中每相邻的两项之间都验证完，导致了必然要从抽象的层面进行研究，从而一网打尽。这一想法特别重要，于是，生5 由序列①与生4 想法的启导，将这个序列中的具体数字通过抽象性的表达，构造出了表达式进而在将无理数大小比较转化为有理数大小比较的策略下，通过“分子有理化”得到了等式⑤，它将序列①所猜想的结论转化为可靠的结论，使问题得以彻底解决。因此，教师乙的这种教学途径，展示了解决这道题完整的心理活动过程，符合当代数学教学的优势理念。

如此教学设计及其课堂实施，教师乙利用生3在课堂上生成的想法，通过精心铺垫，成功地营造了促使学生将自己的心智能量聚焦于萌生“毕其功于一役”，从而彻底解决问题的数学观念，这构成了学生欲罢不能的心理探究活动，想方设法地在智囊中搜寻如何从具体的现象上解决问题过渡到从抽象的本质上解决问题的途径。教师乙的这种教学设计及其课堂实施的高明之处，就是通过自己的课堂行为，在这个地方找到了方法，将学生的思维活动聚焦于这么一个问题点上，由于此处学生所要思考的材料与环节目标清晰、方向明确，致使学生形成了强烈的心理内驱力，此处，可以使用课堂布白的教学技术，给学生时间，相信学生一定可以实现从具体到抽象、从现象到本质的过程，萌生出相应的方法，解决这个问题。从课堂上师生活动过程来看，教师乙很好地实现了这样的目的。具体体现在以下两个方面：

其一，促使学生认识到“具体”与“抽象”、“现象”与“本质”这两对辩证范畴在一定的条件（对于教师教学设计及其课堂实施来说，通过铺垫、渲染或烘托，营造出学生可以理解的条件非常重要）下是可以转化的，在探究数学问题时，这种转化是特别有价值的。通过教师乙的课堂实施活动，学生能够自觉地形成这样的数学观念：对于特别具体的数学化信息，可能需要转化为抽象的结果来帮助解决问题；反之，对于比较抽象的数学化信息，往往需要选择一个具体的特例来投石问路，仔细地把这种具体的特例研究清楚了，就有可能为这种形式上抽象的数学化信息问题提供可资借鉴的思路。

要实现这种辩证法（范畴的互相转化）层面上的教学目标，其实是对我们数学教师提出了非常高的教学要求，数学教师只有深入分析数学知识内容的特点与学生发生具有如此特点的数学知识内容的心理活动过程，才能体会与理解数学知识内容中所蕴含的这些辩证法的要素，比对着学生心理，从学生产生具体的思维环节路径中，搜寻这个知识结构中所蕴含的辩证法要素如何投射到学生的心理上去，伴随着这一投射过程，促使学生辩证意识或辩证思维的萌生、逐步成长与发展起来。因此，数学教师自己必须要有辩证意识与辩证思维能力，这样才能独具慧眼，体味数学教学内容中所蕴含的辩证思维材料，才能通过自己精湛的教学设计及其课堂实施活动，培养学生的辩证意识与辩证思维。

其二，养成数学抽象的核心素养，《普通高中数学课程标准（2017年版）》在“学科核心素养与课程目标”这个一级标题下，将“数学抽象”列入“学科核心素养”中六大核心素养的课程目标之首，这是有道理的，因为数学所研究的就是“任意”或“一切”情况，那就必然是抽象地进行研究，所以数学的抽象性与结构性是最为突出的两个特点。课程标准指出，“（数学抽象核心素养）主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表达”[1]。虽然这是对于高中学生而言的，但是，在初中阶段如果基于合适的数学教学材料进行渗透也可能很好地达到目的。教师乙关于这道题的教学设计及其课堂实施就是很好的例子。

需要注意的是，这种养成数学抽象的核心素养，数学教师就必须要对数学教学内容进行细心的过滤，辨别出合适的教学材料，找到合适的教学途径，在初中阶段就应该一点一滴地向学生进行渗透，在学生的心智结构中播种，促使学生获得这样的体验，从而生根、发芽、开花与结果，进而可以最大限度地发挥数学知识中所蕴含的教学价值。因此，教师乙的这种教学设计及其课堂实施过程，就非常好地体现了这一点。这给我们数学教师以有价值的启发。

教师丙的教学设计及其课堂实施是教师乙的特殊化，由于等式⑤是将符合这种数字特征的所有式子（即序列①）一网打尽，而与只不过是等式⑤的两个具体的二次根式而已，因此，只要将这两个二次根式分别“分子有理化”，就可以实现与等式⑤同样的目的。只不过，教师丙的教学设计及其课堂实施看上去好像是萌生了新的数学观念（有理化），似乎在此处闪现了灵感与创造性，但是它的本质便是等式⑤，或者可以这样说，等式⑤并不需要灵感的闪现，而是可以使用生4 分析法的结果。这就告诫我们数学教师，在教学设计及其课堂实施时，在某些时候，确实可能是灵感所闪现的数学观念在指引我们行动，但教师要对这种灵感的闪现展开分析，极有可能寻获灵感产生逻辑源头。

从实现教学目标的视角上看，这样的教学无法像教师乙一样，可以实现培养学生相关的辩证意识或萌生辩证思维，也不能为养成学生的数学抽象核心素养作出相应的贡献，因此，教师丙的教学设计及其实施的效果应次于教师乙。虽然如此，教师丙的教学设计依然具有很好的实用性，因为他所花费的时间很少，又给这个问题的解决找到了心理来源，体现了这种教学设计的创造性。然而，与教师乙的教学设计及其课堂实施比较，它没有涉及利用教学资源帮助学生养成数学抽象核心素养的教学目标。教师丙的努力方向在于，深入分析如何形成“分子有理化”这个观念来源，有可能触及产生这个数学观念的逻辑起点。

教师甲的教学设计及其课堂实施几乎就是将教师指导用书所提供的答案，原原本本地抄写到了黑板上，学生只能通过机械记忆这道题具体解题的逻辑过程，而谈不上心理上的变化过程，所以这种教学设计及其课堂实施价值是最低的。因为，学生经过这样的教学设计及其课堂实施途径的学习解决这个顺序问题，不能实现任何认知的、情感的、意志的教学目标，久之必使学生的学习动机、兴趣等消磨殆尽，从而放弃数学学习。对此，我们数学教师一定要有深刻的认识，以避免重蹈覆辙。

由于这是教学设计及其课堂实施的研究活动，是严肃认真的，笔者只对事不对人，直言不讳地评论这三种数学教学的优劣得失。虽然如此，当分析这三位教师的教学设计得出如此结论的时候，有不少教师提出了为教师甲进行辩护的想法，他们说，在数学课堂教学时，因为受到教学时间的限制，教师甲这种教学也是情有可原的。笔者以为，他们的这种辩护是苍白无力的，因为一个有责任感与进取心的数学教师一定能够在课堂上找到相应的时间来全方位地展示学生发生数学认识的思维活动过程，否则为什么还要进行教学设计呢？

因此，在数学问题解决教学设计时，教师应该力争做好这三项工作：其一，对于教科书或教师用书所体现的解答结果的表达形式，一定要认真地思考（最后是不看答案而自己进行解答）是如何产生这种结果的，力争取得这个结果的心理来源[2]；其二，对于数学教师似乎是通过直觉的途径萌生的某些数学观念，应该尽可能地深入分析，获得产生这种观念的心理过程或逻辑过程（例如，教师丙“分子有理化”的数学观念，进一步转化为心理过程，这就是希望将比较无理数大小转化为比较有理数大小）；其三，退一步说，我们还可以阅读相关文献或请教其他教师，不至于就是这样地将解决结果原封不动地抄给学生。从而保证数学教学设计及其课堂实施的有效性[3]。

三、结语

把一道数学题的施教活动设计到让学生在探究解法时欲罢不能的境界，这应该就是一个非常好的教学设计及其课堂实施了。在解题教学活动展开时，如果每一重悬念，待要解开，又出现了新的谜题，让学生对于探究活动犹如上瘾一般，一直追随着解决问题的环节走下去，直到取得答案为止，那么这种施教活动本身到底是什么类型的问题已经不再重要了，因为这只是一个好问题，将学生的全部视线都聚焦于这个问题解决的关键性环节。这绝不是一件容易的事情，它的进与退、显与藏、顺境与逆势，一招一式、一言一行，都需要做得恰到好处。此时，数学教学看起来是非常复杂的活动行为，但是，数学教师应该把它做得非常“单纯”，这样的数学教师才是真正的好教师。教师乙关于这道题的教学活动达到了生机勃勃、风生水起的境界。▲