环论中若干典型问题探究

张元康 齐雪

摘 要：环是群在定义上的进一步延伸，但环又比群多了一重代数运算，文章首先对环的定义进行详细阐述，之后再对环论中若干典型问题进行探究，并尽可能给出详细的解法。

关键词：环论;群;代数运算;近世代数

在之前高等代数中已然对整数环做过阐述，只不过当时不叫整数环，只是提到“数域”这个概念，并明确规定数域对于加减乘除四则运算是封闭的，实际上数域就是交换除环，即环的一种。而近世代数中环论则进一步对环的概念进行了详细的阐述，从而使得读者对于环论有了更加深切的了解。

1 环的定义

将一个集合R称为一个环，当且仅当（1）R对于加法来说作成一个交换群;（2）R对于乘法来说是封闭的;（3）R关于乘法满足结合率;（4）R关于加法与乘法满足分配律。（注：这里所说的加法与乘法均指代数运算。）

2 环的若干典型题目

例1 证明：由所有实数（是整数）作成的集合对于普通加法和乘法来说是一个整环。

证明：当是整数的时候，

其中依然是整数。从而对于普通加法和普通乘法而言依然是闭的，下面来证明普通加法和乘法适合结合律、交换律和分配律。由于对任意，有，此外，从而R可以作成一个交换群，又因为，从而说明两个非零实数的乘积不等于零，从而证得是一个整环。

例2 假定是一个有四个元的域，证明：（1）的特征是2;（2）的不等于0或1的两个元都适合方程。

解：（1）的特征为的非零元的相同的阶，而且是一个素数，又作为加群的阶是4，故而的非零元的阶只可能是1，2或4，并且这中间只有2为素数，从而证得的特征为二。从而加群与克莱因四元群同构。

（2）第二方面，乘群的阶为3，从而为一个循环群，且的元为。从而，又因为加群和同构，从而有，，故而的不等于0或1的两个元和全部适合方程。

例3 求证有理数域Q是所有复数（a，b是有理数）作成的域的独一无二的真子域。

证明：容易证明是一个域，显然是的真子域，设是的任意一个子域。从而含有元素，因而含有元素。根据此得到含有一切整数和一切有理数，从而含有：，则，那么至少有一个数，从而。根据此而得到，含有一切而。从而证得是的唯一的真子域。

例4 我们假定I是一个唯一分解环而Q是I的商域，证明：的一个多项式如果可以在里可约，那么它在里面也一定可约。

证明：不妨可令为的一个多项式，并且在里面也是可约的，可以写成，这里面要注意为的一个本原多项式，原因是因为d是Q的一个单位而在里面是可约的，于是根据引理3，我们可以得到结论在里面是可约的。

例5 假定是整环I上的一元多项式环，属于但不属于I，并且还有的最高系数是I的一个单位，现在来证明在里面是可以分解的。

证明：（i）首先我们假设以下的简单事实是成立的：若a和b是I的元素，是I的一个单位并且还有，那么a和b就都是I的单位，这里是因为。

（ii）我们现在来证明，在里面是完全可以分解成为有限个不可约多项式的乘积。如果本身为的一个不可约多项式，那么用不着再证明什么了，我们假设在里面是可约的，则我们有，我们知道这里是的真因子。我們知道如果里面有一个元素属于I，我们比如，那么我们知道a与的最高系数b的乘积等于的最高系数，我们知道这里如果依据题设是I的一个单位，因此我们可以根据（i），a也是I的一个单位，与a是的一个真因子的假设是完全矛盾的，我们知道这样与的次数都将大于零因而都小于的次数，并且由于（i），与的最高系数都是I的单位，我们知道因此可以同样的对与进行对的论证过程。我们知道由于的次数有限，最后可以在里面将分解为有限个不可约多项式的乘积。

例6 我们假定I是一个主理想，并且我们还有，证明：d是a和b的一个最大公因子，因此a和b的任何最大公因子d都可以写成如下的形式：。

证明：我们知道由于得到，因此我们有d整除a，而且d整除b，我们知道另一方面d是a和b的一个最大公因子，并且还知道从而可得到，因此我们可以很容易得到结论c整除a，以及c整除d，从而我们可得c整除p，也就是说a和b的任何一个公因子c都能整除d，所以我们可以肯定的说d是a和b的一个最大公因子。另一方面我们知道如果为a和b的任何一个最大公因子，那么我们一定有是d的相伴元，也就是说我们一定会有结论（是I的一个单位），因此我们一定有。

参考文献：

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[2]赵静，周卫，刘振海.近世代数课程教学的几点建议[J].广西民族大学学报，2010，16（03）：94-96.

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