多自由度碰撞振动系统的位置控制方法分析★

陈 俭 勇

(武汉职业技术学院，湖北 武汉 430074)

以简单的梁为例，研究其横向振动时，就要用梁上无限多个横截面在每个瞬时的运动情况来描述梁的运动规律，因此一根梁就是一个无限多自由度的系统。对于这样系统要得到精确解，需要花费很多时间。但是，一般情况下我们可以对弹性振动问题由无线多自由度简化为有限多自由度进行分析，得到它主要的、即较低频密的振动特性与规律，这样就可以满足机器设计与使用上的要求。基于此，研究多自由度系统的振动就具有很高的工程应用价值。汽车报告分析中，常把汽车的自由度系统作为对象进行研究。

1 多自由度系统的振动

本文应用“矩阵代数”这一数学工具来研究多自由度系统的振动问题。这一数学工具同电子计算机的应用是密切相关的。这里的研究将为用有限单元法解决相关问题打下基础。

1.1 以汽车振动问题为例讨论振动模型的建立

1)建模方法1。单自由度模型：不计轮胎的质量和弹性分析车身垂直振动的最简单的单质量系统，适用于低频激励情况(5 Hz以下)。

2)建模方法2。两自由度平面模型：将车身、车轮质量单独进行考虑，忽略轮胎阻力。设置m1为车轮质量，m2为车身质量。

3)建模方法3。四自由度平面模型：车身考虑垂直和俯仰自由度，前后车轴有两个垂直方向自由度。

4)建模方法4。七自由度空间模塑：车身考虑垂直、俯仰(pitch)和侧倾(roll)三个自由度，车轮有四个垂直方向自由度。

1.2 多自由度系统的研究方法

基于Lyapunov稳定性理论，可以推导出稳定的控制单边约束的多自由度碰撞系统达到定义域内预期位置的算法，在此基础上可以设计一个新的位置控制器，使该类系统实现混沌控制目标。以二自由度碰撞振动系统为例验证了控制效果，并在不同强度的随机激励下讨论了该方法的稳健性。数值模拟表明该方法是研究多自由度碰撞振动系统控制问题的有效方法。

2 动力学中自由度相对碰撞系统分析

机械系统中有很多的零部件存在着一些间隙，在外部因素的激励下零部件之间会发生一些摩擦和碰撞，这些一定会影响到器械的使用寿命和工作人员的工作舒适度。为此，我们应该对机械的自由度相对碰撞做一个深度的研究，只有这样才能让机械的工作恢复到正常状态。自由度碰撞系统有其自身的周期性变化。自由度碰撞系统在共振情形下有分岔和次谐分岔以及走向混沌等演化过程。由于这些活动也会导致机械部件的损坏，因此对于机械工作者来说，研究动力学中的自由度相对碰撞系统就是利用机械系统自身的特性对机械进行优化设计从而降低问题出现的几率。

2.1 二三自由度中倍化分岔在系统周期中的演化

选择二或者三自由度相对碰撞系统的参数值43=1.0，ua=30,5=001，R=0.8，δ=001。由此可以看出系统特征值发展趋势：当o逐渐增大经过a=1.217 4时，此时 Floquet矩阵的1个特征值λ(a)过(-10)点，气2(0),A34()和λ(a)滞留于复平面单位圆内，其条件满足周期Flip分岔条件。

2.2 Hopf-pitchfork分岔及向混沌的演化

选择系统的一组无量纲参数：pn3=40，pn2=4.0,42=9,43=9，3=0.9,3=5.0,5=001，R=0.7，=0.01。o逐渐增大，并经过o=2 417 209时， Floquet矩阵有一个实特征值(o)从点(1,0)处横截单位圆，并且有一对共轭复特征值4(a)也几乎同时穿越单位圆，λ(o)和λ2(a)特征值仍滞留在单位圆内，我们认为这就近似满足了 Hopf-pitchfork余维二分岔的条件。矩阵在O=o=2.4 172 099时， Floquet矩阵的特征值为：4(a2)=10 011 739 310,1(a=10 010 930 (2)=09 716 197 590 315 007 110,)=09 804 219在计算机编程仿真的过程中，当a

3 结语

本文对自由度碰撞系统的振动进行了详细的研究，采用了矩阵分析的方法和利用计算机编程技术对其分岔混沌的演化进行分析，进一步增强碰撞振动系统的稳定性，提高系统的实际应用价值。