错在哪里

1 黑龙江省鸡西市第一中学数学教研室 (邮编：158100)

题目已知E、F、G、H、M、N分别为正四面体ABCD的棱AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点，这4个顶点和6个中点共可确定( )对异面直线.

A.423 B.399 C.379 D.255

解答错了，错在哪里？

图1

下面就按照所成角的大小对这255对异面直线进行归类梳理，希望这些结论能大家的教学或学习有所帮助.

图2

第一类 成角为900

(1)易知正四面体ABCD的对棱确定的3对异面直线成角为900；

(2)如图2所示，直线AD与直线EM,NG成900角，这种情况共有6×2=12对；

图3

图4

图5

(3)如图3所示，直线BM与直线GH成900角，这种情况共有3×4=12对；

(4)如图4所示，易知直线MN⊥截面EFGH，即直线MN与直线EF,FG,GH,HE均成900角，这种情况共有3×4=12对；

综合(1)，(2)，(3)，(4)可知在这255对异面直线中，成角为900的共有39对.

第二类 成角为600

(1)如图5所示，直线AB与直线GM,GH,GN,GF成角均为600，这种情况共有6×4=24对；

图6

综合(1)，(2)可知这255对异面直线中，成角为600的共有48对.

第三类 成角为450

图7

图8

如图7所示，直线EG与直线AC,BD所成的角均为450，这种情况共有6×2=12对；

第四类 成角为300

如图8所示，直线AF与直线HN,HG所成的角分别为300，这样的情况共有6×2=12对；

图9

图10

图11

图12

图13

图14

图15

从上述分类可以看出这是一道内涵极其丰富的题目，有兴趣的读者，还可再进一步深刻挖掘，一定会得到更多好的结论，这些结论都是我们进行巩固练习和习题编制的绝好素材.