F 分布的Excel 构建与模拟

F 分布（F-distribution）是一种常见的概率分布，在方差分析的统计推断中占有重要位置.它的定义是这样的：设从某正态分布总体N(μ, σ2)中随机抽取样本容量为n1和n2的两个独立样本，其样本方差分别则定义这两个方差的比值为F，即：

在具体的教学过程中，如果对上述内容，尤其是对F 分布曲线的特征简单地进行叙述和罗列，一方面难以激发学生的学习兴趣，另外一方面也不利于他们对F 分布的深入理解.近年来，笔者与同事们在教学过程中，利用Excel 软件中的函数公式、图表绘制以及VBA 编程功能（Visual Basic for Application），对生物统计学当中的一些内容进行模拟或构建，取得了不错的教学效果［2-5］.本文继续以Excel 2010 为例，采用2 种方法对F 分布曲线分别进行构建和模拟，以供参考.

1 利用函数进行构建

Excel 2010 中的F.DIST（F, df1, df2, FALSE）函数可以用来计算某F 值以及df1和df2条件下的概率密度.利用该函数对F 分布曲线进行构建时，其数据输入格式如图1 所示.在A 列中自A4 单元格以下输入≥0的数字以表示F 值，本文中以0.1 为间隔，即0.0、0.1、0.2、…；在第1 行中自B 列开始输入正整数以表示df1，本文中以2、3、10、…为例；在第2 行中自B 列开始输入正整数以表示df2，本文中以2、10、20、…为例；在B4 单元格中输入“=F.DIST($A4,B$1,B$2,FALSE)”，并将此函数公式向右、向下复制填充，一张特定F值以及df1和df2条件下的概率密度表格便生成了；然后对所得概率密度与A 列的F 值进行绘图，便可得到相应的F 分布曲线（见图2）.该文件生成后，只需要任意修改表格第1、2 行中的自由度取值，便可以在课堂上动态地展示F 分布曲线随自由度df1和df2变化而变化的规律特点， 从而达到激发学生学习兴趣、提高教学效果之目的.

图1 Excel 函数输入示例

图2 不同自由度的F 分布曲线

2 利用VBA 编程进行模拟

2.1 模拟步骤

Excel 中的NormInv(Rnd(),0,1)函数可以生成一系列服从标准正态分布N(0,1)的随机数字，正好可以用来模拟F 分布的抽样过程.

第1 步：打开Excel 2010，新建一个电子表格，在当前工作表的A1 至A4 单元格中分别输入“自由度df1=”“自由度df2=”“抽样次数=”以及“组距=”；在B1 至B4 单元格中输入合适的数字以表示相应的自由度、抽样次数和组距（本文分别以10、20、10 000、0.2 为例）；在C1 至I1 单元格中分别输入“F 值”“组限”以及“频率”等（见图3）.

第2 步：按Alt+F11 进入Visual Basic 编写界面，双击左侧的Sheet1 图标，进入代码编写界面，把本文附录中的VBA 代码拷贝进去（见图4）.然后关闭代码编写界面进入工作表界面，将文件另存为启用宏的文件类型（*.xlsm）即可.

图3 模拟步骤第1 步的输入结果

图4 Excel 中VBA 代码的输入

第3 步：为宏运行设置快捷键.按Alt+F8 键或点击菜单栏的“视图→宏→查看宏”后选定“Sheet1.sql”，再点击“选项(O)…”，在快捷键对话框里填写字母“q”后确定即可.

2.2 模拟结果

当按下快捷键Ctrl+q 时，Excel 便开始执行模拟程序.首先是在C 列和D 列自第2 行往下分别生成n1(= df1+1)和n2(=df2+1)个服从标准正态总体N(0, 1)的随机变量.本文中以df1=10、df2=20 为例，故在C2 至C12 单元格中生成11 个随机变量表示n1、在D2 至D22 中生成21 个随机变量表示n2.然后利用VAR 函数计算n1的方差和n2的方差分别存放在单元格E2 和F2 当中；再将便可得到一个F值，存放在G2 单元格中.若将上述过程重复10 000 次（B3 单元格中的数字，本文中以10 000 为例），便可生成10 000 个和F 值，被相应地依次存放在E、F、G 这3 列的第2 行至第10 001 行当中.

在VBA 代码中，利用ROUNDUP(MAX())和ROUNDDOWN(MIN())这两个复合函数对G 列中的F 值的最大值与最小值分别向上向下取整数，以统计F 值的分布范围，并据此设置组限，数据存放在H 列中；再利用FREQUENCY 函数进行频次统计，所得的各组的频率存放在I 列中；最后对I 列中的结果绘制柱状图，其结果如图5 所示.任意修改B1、B2 单元格中的自由度取值，该柱状图便会相应地发生改变，从而可以动态地展示F 分布随df1和df2变化而变化的基本规律.从图5 中可以看出，F 值的频率分布变化趋势与图2 中的概率密度曲线的变化趋势是基本一致的.

图5 不同自由度的F 频率分布

3 结语

频率与概率之间的关系，实际上就是样本统计数与总体参数的关系.上述的第1 种方法，即利用F.DIST 函数对F 分布曲线进行构建，恰恰就是对F 分布总体的描述.该方法的优点是分布曲线圆滑美观，运算速度快，不影响正常的教学节奏，便于课堂上展示；其不足之处在于未能体现抽样过程，也就不便于学生深刻理解F 分布的内涵.利用VBA 编程对F 分布进行模拟则可以很好地弥补这一不足之处.在VBA 模拟中，学生可以根据运算程序去梳理F 分布的由来.通过任意修改模拟参数，可以查看不同自由度、不同抽样次数以及不同组距下的F 频率分布，这种交互式体验必定有助于加深学生对该分布的理解.理论上，当图3 中B3 单元格中的抽样次数无限大、B4 单元格中的组距无限接近于0 时，图5 就与图2 相一致.在实际应用时，一方面Excel 无法满足抽样次数无限大的要求；另一方面，抽样次数过大也会使得运算过程耗时过长.VBA 代码中，最大抽样次数设置为65 535，已然可以满足模拟的基本要求，取得很好的模拟效果.所以，建议在课堂上采用第1 种方法辅助教学，将第2 种方法留给学生课下自行模拟，这种课上课下相结合的教学方式，必能激发学生的学习兴趣，提高教学效果.

4 附录（VBA 代码）