边条件含谱参数有理式的Sturm-Liouville问题的谱不等式

傅守忠，王 忠

（肇庆学院 数学与统计学院，广东 肇庆 526061）

0 引言

起源于求解热传导方程的Sturm-Liouville(以下简称S-L)问题是指S-L方程

赋予分离的自伴边条件

所形成的特征值问题,其中1/p,q,w都是[a,b]上的可积实值函数,且p和w几乎处处为正,h和H为实数或∞,其中∞代表对应的端点为Dirichlet的边条件,例如H=∞表示y(b)=0.S-L问题已成为数学物理许多应用领域(如振动力学和量子力学等)的重要理论工具.在由弹簧连接的振动系统中,将一端完全固定,振动方程分离变量后,形成的S-L问题在该端取Dirichlet边条件y(·)=0.若一端固定在1个弹性支承上(比如该端可在与弹簧振动方向垂直的光滑的杆上滑动),则对应的边条件为一般边条件(2).熟知,经过经典的Liouville变换,可将S-L问题(1)～(2)规范化为[0,1]区间上等谱的势方程S-L问题∶

经典S-L问题(3)～(5)诱导出Hilbert空间L2[0,1]中定义的常微分算子L的谱问题Ly=λy(参见文献[1-3]),其中算子L及其定义域为

若振动系统中弹簧的一端相对固定,而另一端悬挂1个摆动的物体,则其振动方程分离变量产生的S-L问题的边条件就与系统的振动频率(即谱)相关,即h和(或)H依赖于λ.还有很多物理问题的数学模型会转化为边条件含谱参数的S-L问题[4].多年来,许多学者致力于这类问题的研究,得到很多有意义的成果.诸如将问题纳入一种特定的Hilbert空间后,诱导出的微分算子是自伴的,谱由特征值组成,特征函数系是完备的,等等[5-8].

赋予不同边条件的S-L问题特征值间的不等式不仅有趣,而且在特征值分布、近似计算及确定给定特征值的序号等问题中有重要的应用价值.例如由方程(3)～(5)组成的S-L问题的特征值递增序列,与方程(3)赋予边条件(4)和Dirichlet边条件y(1)=0生成另一个S-L问题的特征值递增序列之间,存在交错不等式,由此及Sturm比较定理和的信息(如所对应的特征函数的零点个数),就可以得到对应于一般S-L问题的特征值的相应信息[9-10].利用Weyl-Titchmarshm-函数及其性质[11-12],文献[13]和[14]给出端点x=1处的边条件依赖于aλ+b或其倒数的S-L问题的特征值与间的交错不等式.

本文中,笔者讨论边条件依赖于特征参数分式线性函数的S-L问题的相应结论,即边条件(5)变成

的S-L问题,其中a≠0,b,c≠0,d为实数,且满足ad-bc＞0(这里a=0和c=0的情形可分别化归成文献[13]和[14]中的结论).文献[15]已经证明这类问题诱导出的S-L算子是自伴的,因而其特征值都是实的.

本文将利用由(3),(4)和(6)(简写为(3)-(4)-(6))组成的S-L问题的Weyl-Titchmarshm-函数及其性质,给出该问题的广义特征函数,并得到其特征值递增序列与序列间的交替不等式,最后得到这2组特征值可以唯一确定势函数q(x).

1 Weyl-Titchmarshm-函数及其性质

对任意的复数λ,设v(x,λ)是方程(3)满足初始条件y(0)=1,y′(0)=h的解(对应于h=∞即边条件y(0)=0,初始条件改为y(0)=0,y′(0)=1),则对任意的λ,函数v(x,λ)都满足方程(3)和边条件(4),且由常微分方程的解对其参数的连续依赖性,v(x,λ)及v′(x,λ)都是λ的整函数.

定义Weyl-Titchmarshm-函数[11-12]

则m(λ)是λ的半纯函数,且m(λ)的极点集合恰好是

引理1[13]当时,

推论1[13]对每个自然数

引理2[12,16]m(λ)有如下渐近式

特别地,当λ→-∞ (沿实轴)时

推论2[13]若记则m(λ)在区间内由-∞连续地严格递增到+∞.

引理3λ∗是由方程(3),(4)和(6)生成的S-L问题的特征值当且仅当等式包含∞=∞的情形，但不用区分±∞.

证 由v(x,λ)所满足的条件和m(λ)的定义,经简单变形可知必要性成立.

在将∞-∞定义为0的意义下,由引理3易见,方程(3),(4)和(6)生成的S-L问题的广义特征函数为

显然F(λ)的极点恰好是

2 主要结论与证明

定理1设S-L问题(3)-(4)-(6)的特征值递增序列为

2)若存在非负整数n,使得则

证 1)由推论2,m-函数m(λ)在区间内都连续,故F(λ)在区间

内也都连续.又由于a≠0且ad-bc＞0,故

再根据推论2,F(λ)在公式(9)所列的各区间内都由-∞连续地严格递增到+∞,故由连续函数的介值定理知F(λ)在上述每个区间内都有且只有1个零点.结合引理3知F(λ)的零点恰好都是由方程(3)-(4)-(6)生成的S-L问题的特征值,即得不等式(7).

注 事实上,F(λ)的零点就是λ的函数m(λ)与的交点,图1给出定理1中的不等式的几何意义.

图1 特征值不等式的几何意义

定理2 对固定的h及满足ad-bc＞0及a≠0,c≠0的实数a,b,c,d,S-L问题(3)-(4)-(6)的特征值和将边条件(6)换成Dirichlet边条件y(1)=0的S-L问题的特征值可唯一确定q(x).

证明方法类似文献[13]中定理2的证明.