基于柯西中值定理的极限研究

王晓松 徐莹

摘 要：柯西中值定理是微积分的一个基本定理，它在拉格朗日中值定理的证明及许多未定型极限的运算上都起着重要的作用。本文基于柯西中值定理进行极限延伸，重点对其定理及其证明进行研究。

关键词：柯西中值定理；柯西定理；极限；证明

一、引言

柯西是法国著名的数学家和天文学家，他发明的许多定理和公式都以其姓名来命名，如柯西中值定理、柯西积分定理、柯西积分公式、柯西不等式等。其中柯西中值定理是微积分学中一个非常重要的定理，它对于许多等式、不等式的证明、极限的运算方面都起着至关重要的作用。本文基于柯西中值定理，与函数极限的概念相结合，重点研究两种特殊类型的极限及其证明。

二、柯西定理及证明

定理1（柯西中值定理）：若函数[f（x）]，[F（x）]满足：

（1）在[a，b]上连续。

（2）在[a，b]上可导，且[F'x]在[a，b]内每一点均不为零，则至少存在一点[ε∈a，b]，使得：[fb-f（a）Fb-F（a）=f'εF'ε]。

定理2：若函数[f（x）]定义于区间[a，+∞]上，且在每一个有穷的区间[a，b]内是有界的，则：

（1）[limx→+∞f（x）x]=[limx→+∞fx+1-f（x）]。

（2）[limx→+∞f（x）1x=limx→+∞f（x+1）x]（[f（x）≥C≥0]），假定在等式右端的极限都存在。

证明：

（1）记[limx→+∞fx+1-f（x）=A]，任给[ε>0]，必存在正数[X0>a]，使当x[≥X0]时，恒有[fx+1-fx-A<ε2]。

现设x[>X0+1]，于是，恰有一个正整数n（依赖于x），满足n[≤x-X0

令[τ=x-X0-n]，则0[≤τ<1]，x=[X0+τ+n]。

有[f（x）x-A=nxfx-fX0+τn-A+fX0+τx-X0+τAx]。

易得[nxfx-fX0+τn-A≤fX0+τ+n-fX0+τn-A]

=[1nk=1nfX0+τ+k-fX0+τ+k-1-A]

[≤1nk=1nfX0+τ+k-fX0+τ+k-1-A<1n·nε3=ε3]。

由假定，[f（x）]在[X0≤xX1]时，恒有[f（X0+τ）x<ε3（0≤τ<1）]；

另外，显然存在正数[X2]，使当x[>X2]时，恒有[（X0+1）Ax<ε3]。

令X=max[X0+1，X1，X2]，于是，当X[>X]时，必有[f（x）X-A<ε3+ε3+ε3=ε]。

由此可知：[limx→+∞f（x）x=A]，故（1）得证。

（2）由假定[f（x）≥C>0]，记[limx→+∞f（x+1）f（x）=A']，显然[A'≥0]，下证[A'>0]。事实上，若[A'=0]，则存在正数[X0]，使当x[≥X0]时，必有0[

于是0[

由此可知，[ limx→+∞fX0+n=0]，此显然与[f（x）≥C>0]矛盾，故此有[A'>0]。

由于[f（x）≥C>0]且[f（x）]在每个有穷区间[a，b]内有界，故函数[lnf（x）]在每个有穷区间[a，b]内也有界，并且[limx→+∞lnfx+1-lnf（x）=limx→+∞lnf（x+1）f（x）=lnA']。

于是，將（1）的结果用于函数[lnf（x）]，即知[limx→+∞lnf（x）x=lnA']。故有[limx→+∞f（x）1x=limx→+∞elnf（x）1x=limx→+∞elnf（x）x=elnA'= A']。

证明完毕。

三、结论

柯西中值定理是微积分中一个非常著名的定理，它在微积分、复变函数等多门数学学科中都起着至关重要的作用，它的证明、应用及其延伸一直是教师探讨学习的重要内容。本文对柯西中值定理进行了极限延伸，重点研究两种特殊类型的极限类型并进行证明。在教学过程中，教师应指引学生将其结论运用到具体的解题过程中，并对柯西定理进一步深入研究推导，得出更多结论并实际应用。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]赵剑英.微分中值定理教学的思考[J].芜湖职业技术学院学报，2018，20（01）：90-94.

[3]谭璐芸.微分中值定理的应用[J].辽宁师专学报（自然科学版），2007（01）：13.

[4]陈洁.柯西定理的推广及其应用[J].韶关大学学报（自然科学版），2000（02）：41-4.

作者简介

王晓松（1983—），女，安徽省宿州市人，助教，学士，主要从事数学与应用数学研究。

徐莹（1984—），女，安徽省宿州市人，二级教师，本科，主要从事小学数学教育研究。