小变化 大作用——公式变形记

广东省深圳市观澜第二中学 陆龙高

第一步：先学习同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。用公式表示法则：am÷an=am-n(a ≠0，m，n 都是正整数，且m ＞n）。由幂的定义出发，学生容易理解和接受这个法则，能快速掌握这个知识点。

第二步：提出两个问题思考：问题1：当m=n 时，am÷an=am-n=a0，那么a0等于多少？问题2：当m ＜n 时，am÷an=am-n，由于m-n＜0，即指数是一个负数，该怎么理解，如何运算呢？

接下来笔者想了解学生对这个规定的理解程度，提出一个话题：每个学生可以用自己的理解谈谈对这个规定的认识。经过思考后，学生甲说，底数a 可以是正数，也可以是负数，但是不能为0；学生乙说，a-p的结果是ap的倒数；学生丙说，这是一个负指数计算的公式，在计算时要保持底数不变，负指数变成正指数，最后结果变成倒数就可以了。可见，学生的认识还是全面、准确的，总体是不错的。说得很好，做得如何呢？笔者给出了一组题目让学生练习，计算下列各式：

检查发现，每个题目的答案五花八门，完全正确的很少，学生的错误答案大大超出了我的预料。计算出现的问题有以下几个类型：

二是底数不变，指数改变，结果不变为倒数。例如：2-2=22。

三是底数改变，指数改变，结果不变为倒数。例如：2-2=(-2)2。

这清楚地表明，学生对这个规定的认识是正确的，但对规定的使用是混乱的，在解题的过程中缺乏一个有效的操作规范。有没有一个次押注，且赢了的话，则他在本轮游戏中就赢了1 元。

事实上，我们不难发现，在上面的假设下，要保证连输许多次之后仍然有充分的资金押注，就意味着彩民需要准备充分大量的初始资金。那彩民按这个倍投式策略：1 元、2 元、4 元……的方式押注，赢1 元回来，之后再重复，又赢1 元回来；这样想，这个策略是可以的。但是问题是，在实际生活中，任何一个人的资金都不会是无限大的，他可能在连输n 回之后就没有充分的资金进行押注了。

举一个最简单的例子，比尔盖茨的资产十分巨大，如果他用他所有的资产去博彩，相对于其他普通人来说，他拥有的数额巨大的资产让他可以选择使用倍投术博彩，并且可以承受比普通人大得多的风险，在这种情况下，他在博彩中可以用来使用倍投术的博彩次数也比普通人要多得多，这样的话，他也许就能盈利，但是这种盈利也只是暂时的，因为倍投术的前提是拥有无限的资金，而比尔盖茨的赌本虽然多，但是也不是无限的。这样就符合了赌徒输光定律的条件：有限的资金。虽然这资金很巨大，但是终究有限，这样下去，若是比尔盖茨一直进行下去，也终究会花光他的所有资产，这就是赌徒输光定律的结果。所以不管使用何种方法或者算法运用在博彩中，都只会带来短暂的盈利，不可能带来长久的巨大财富。切不可因为掌握了几种简单的方法就想运用在博彩上，而妄图发家致富。