证明几何问题时如何掌握画辅助线的技巧

裴静

在分析几何问题时，学会正确地画辅助线非常重要.只有正确画出辅助线，才能够有助于快速证明几何问题;反之，如果盲目地画辅助线，则只会把当前的几何问题变得更加复杂.笔者结合自己的学习实践，说明在证明几何问题时，正确画辅助线的方法.

 一、应用画辅助线转移数学问题

转移一个数学问题，是指当一个数学问题为A，现在难以证明出问题A，然后却可以尝试思考，能不能让数学问题A等价为数学问题B，而现在虽然难以证明数学问题A，却容易证明数学问题B，这样可以证明问题B的途径来证明A.应用这样的思路画辅助线，便能通过添加辅助线来帮助解决几何证明问题.

题1：如图1，已知：△ABC的三个内角是∠A，∠B，∠C.求证：∠A+∠B+∠C=180°.

现在要证明三角形的内角和为180°，如图1，即要证明∠C=180°-∠A-∠B.这就是把证明∠A+∠B+∠C=180°等价为∠C=180°-∠A-∠B的问题了.应用这样的方法，有利于问题的证明.依此思路，可以绘制出BC的延长线CD，如果能证明∠ACD=∠A+∠B，即可完成证明？此时思考，要如何完成证明呢？现在绘制出CE//AB这条件，此时，又把∠C=180°-∠A-∠B等价为∠C=180°-∠1-∠2了.依此思路绘出辅助线，完成证明.证明的过程为作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA，∠1=∠A，∠2=∠B（依平行线的判定定理），又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.从这一题中可以看到，在添加辅助线时，必须思考可不可以让一个数学问题A变成另一个数学问题B，通过转移问题的方法完成证明，这是一种在证明几何问题时添加辅助线的思路.

 二、应用画辅助线来建立一个数学命题

在遇到几何问题时，有时可以通过直觉和生活经验来发现几何命题是不是成立的.然而这个思路还需要证明，此时可以通过画辅助线来把自己的生活经验、直觉得到的判断具象化，然后以判断这个命题是正确的，或者不正确的伪命题，应用数学知识完成证明，在把根据直觉得到的命题判断具象化的过程中，画辅助线起到能让数学命题成立的重要作用.

题2： 如图2，AB>AC， ∠1=∠2，求证：AB-AC>BD-CD.

在观看这个图形时，不需要作深入的分析，便会产生一种直觉：AB-AC>BD-CD.此时仔细地思考，这种直觉是如何产生的？逻辑依据是什么？此时可以看到，在观察几何图形的时候，虽然可以产生一种几何图形判断定的直觉，但是这种直觉是需要数学逻辑来证明的.为了应用数学逻辑来证明自己的直觉，现顺着直觉分析，可以思考，能不能添加一条辅助线，让AE=AC呢？此时如果能够证明DE=CD，那么就可以应用三角形两边之差小于第三边这个性质来完成证明.依此方向，建立命题：让AE=AC，然后连接DE，证明DE=CD是否成立.辅助线作好后，剩下的就容易证明了.

 三、应用画辅助线整合几何图形

在遇到几何问题时，同学们经常会看到，有些几何图形为不是特殊的几何图形.如有些三角形为普通的三角形、有些四边形的四边长短缺乏规律性，当几何图形不够特殊，缺乏规律性时，会给证明带来很多困难.应用画辅助线的方法，可以把不规律的几何图形尝试变成规则的图形.如果能够应用拼接的方法，把普通的三角形变成直角三角形，能够把不够规则的图形变成矩形或平行四边形这样的图形，那么可以应用这些特殊几何图形的性质来完成证明.为了达到把不特殊的图形变成特殊图形的目的，可以应用画辅助线的方法分割或拼补图形，为证明几何问题打好基础.

同学们在证明几何问题时，要学会巧妙地绘制辅助线：可以应用让问题等价的思路、让某个数学命题成立的思路、把不特殊图形变成特殊图形的思路添加辅助线.应用这樣的方法添加辅助线，有利于问题的证明.