饼形破片入水侵彻速度衰减公式的修正

张磊，高松林，，李晓彬，李思宇，杜志鹏

1海军研究院，北京100161

2武汉理工大学交通学院，湖北武汉430063

0 引言

入水问题研究始于20世纪20年代，从20世纪40年代开始被广泛研究。早期的入水问题与鱼雷弹道有关，Waugh 等［1］及 May［2］总结了入水弹道的特性。矶部孝［3］在20世纪70年代对不同头型弹体的入水问题进行了一系列实验，推导了不同弹体侵彻能力的系列公式。Lee［4］通过牛顿第二定律，引入速度衰减系数和阻力系数，给出了破片入水的经典理论公式。沈晓乐等［5］针对3.3 g立方体破片进行了一系列水下弹道实验，认为阻力系数为常数，并通过实验得到立方体破片的阻力系数为0.15。孔祥韶等［6］采用Fluent软件计算了初始速度约为1 600 m/s的水中立方体弹体的阻力系数，并指出阻力系数与雷诺数有关。张伟等［7］针对不同头型低速弹体进行了水下弹道实验，认为弹体在水中运动时，其阻力系数与空泡数有关。李营等［8］分析了不同初始速度下破片的速度衰减规律，得到了不同初始速度下的阻力系数公式，提出阻力系数与初始速度有关，但认为破片在运动过程中阻力系数为常数。杨莉等［9］通过理论分析和数值仿真，采用多项式函数拟合了破片入水的速度衰减方程，但没有给方程系数赋予特定的物理含义。以往的研究主要关注的是立方体破片、球形破片或长径比较大的柱形破片，针对长径比较小的饼形破片入水速度衰减特性的研究相对较少。

以往的研究表明，长径比对破片速度衰减规律的影响很大，当长径比小于一定数值时采用阻力系数为定值的破片入水经典理论公式已不符合实际情况。为此，本文拟研究饼形破片（长径比较小的柱形破片）的入水速度衰减规律，考虑阻力系数随侵彻位移的变化，改进破片入水的经典理论公式。采用数值仿真方法模拟不同初始速度下饼形破片的入水过程，并分别采用经典公式和改进后的公式对结果进行数值拟合，比较2种公式和数值仿真结果的吻合程度，利用仿真和理论公式研究经验系数a，b与长径比和初始速度的关系。

1 经典理论公式的改进

当破片在水下高速运动时，在破片周围会形成超空泡现象，导致破片与水的接触面积变小，因此摩擦阻力也变小，故可忽略不计。破片入水速度快、时间短，可以忽略自身重力的影响，其在水中高速运动时主要受到压差阻力的影响。根据牛顿第二定律，可以得到破片在水下运动的基本方程为［8，10-12］

式中：x为破片侵彻位移，m；m为破片质量，kg；ρw为液体密度，kg/m3；A0为破片的迎流面积，m2；v为破片的瞬时速度，m/s2；Cd为破片的阻力系数。

对式（1）进行变换，得到

针对破片在水中的运动过程，提出了2个假设条件：一是破片没有磨损，即认为破片质量m恒定；二是A0不发生变化。针对饼形破片，随着侵彻位移的增加，破片的形状和迎流面积容易变化，导致破片的阻力系数减小。因此，引入经验系数b来修正阻力系数随侵彻位移的变化，采用侵彻位移x的一阶多项式表示阻力系数随侵彻位移的衰减，即

式中：Cd0为破片入水的初始阻力系数；x为破片的侵彻位移，m；b为经验系数，m-1。

将式（3）代入式（2），可得

将式（4）两边进行积分，得到

当x=0时，破片的初始速度为v0，对式（5）进行变换，可得

式中，a为经验系数，定义为

当 b→0时，式（6）可以简化为 Lee［4］的经典表达式：

2 数值仿真分析

2.1 仿真模型

采用AUTODYN显式非线性动力分析软件对5种不同长径比的饼形破片的入水运动过程进行有限元仿真。采用轴对称性模型，破片采用拉格朗日单元，破片材料采用考虑了应变强化、温度软化和应变率强化的Johnson-cook本构模型。

式中：σ为材料塑性应力；A，B，C，n和M为材料参数；εp,eff为等效塑性应变；，为无量纲应变率，其中ε为材料的应变，ε0为参考应变，T*=(T-Tr)/(Tm-Tr)，为无量纲温度，其中Tr为参考温度，Tm为材料熔化温度，T为材料此刻所处环境的温度。

式中：D1，D2，D3，D4和D5为材料参数；εf为材料的失效应变；σ*=-Rσ，Rσ为应力三轴度。

材料参数取值如表1所示。

表1 Q235钢材料参数Table 1 Parameters of Q235 steel

初始条件为破片的初始速度，水介质采用欧拉单元模拟，用冲击状态方程描述水介质的基本特性，该方程基于Hugoniot关系建立，表示为

式中：U为冲击速度；UP为粒子速度；C1和S1为材料参数。方程中的参数取值如表2所示。水域四周均采用流进、流出边界条件。采用欧拉—拉格朗日耦合技术进行耦合计算。破片和水介质的网格划分及相对位置如图1所示。

表2 水的冲击状态方程Table 2 The shock state equation of water

图1 模型示意图Fig.1 Schematic diagram of the model

2.2 仿真方法验证

为了验证上述仿真方法的可靠性，采用郭子涛［12］的实验条件进行数值仿真，从侵彻速度及侵彻位移2个方面与郭子涛的实验结果进行对比。首先，对直径12.65 mm、长度25.4 mm的圆柱形破片（长径比r=2）进行仿真计算，得到该圆柱形破片在初始速度分别为397，603 m/s时侵彻位移和侵彻速度随时间的变化关系如图2和3所示。由图可见，仿真与实验结果吻合较好。然后，对直径12.65 mm、长度38.1 mm的圆柱形破片（长径比r=3）进行仿真计算，得到圆柱形破片在初始速度分别为498，414 m/s时侵彻位移和侵彻速度随时间的变化关系如图4和5所示。由图可见，仿真与实验结果同样吻合较好。由此验证了本文仿真方法的精度和可靠性。

图2 r=2时圆柱形破片的侵彻位移随时间的变化关系Fig.2 The variation of penetration displacement of cylindrical fragments with time when slenderness ratio is 2

图3 r=2时圆柱形破片的侵彻速度随时间的变化关系Fig.3 The variation of penetration velocity of cylindrical fragments with time when slenderness ratio is 2

图6 不同初始速度下破片侵彻速度随侵彻位移的衰减曲线Fig.6 The variation of penetration velocity with penetration displacement under different initial velocities

2.3 速度衰减规律

为了研究高速饼形破片入水速度的衰减特性，设置了30种工况，每种工况的长径比或初始速度不同。其中，长径比分别设为r=0.1，0.2，0.3，0.4，0.5和2，初始速度分别设为v0=1 200，1 500，1 800，2 100和2 400 m/s，从而研究长径比和初始速度对破片入水速度衰减的影响。

当r=0.1，0.3，0.5和2时，不同初始速度下破片的侵彻速度随侵彻位移的变化如图6所示。可以发现：随着长径比的减小，破片的侵彻速度不再呈指数衰减，而是在初始阶段快速衰减。r=0.1的饼形破片在侵彻位移不足30 mm时，速度就已经衰减到600 m/s以下。随着初始速度的增大，破片的侵彻速度在初始阶段衰减得越来越快。因此，采用经典的速度衰减公式拟合饼形破片速度衰减曲线，误差较大。基于这一结果，认为饼形破片和圆柱形破片的速度衰减模式不同。这就是本文开展饼形破片入水速度衰减规律研究的原因。

2.4 公式拟合程度对比

为了验证理论公式的合理性和精度，基于初始速度为1 800 m/s时不同长径比下破片速度的衰减仿真结果，分别采用式（6）和式（8）进行最小二乘拟合，得到的速度随侵彻位移的变化规律如图7所示。由图可见，采用经典理论公式得到的速度随位移的变化关系与数值仿真结果的吻合度较差，而采用考虑经验系数的理论公式得到的结果与数值仿真结果则吻合较好。因此，在研究饼形破片入水速度的衰减特性时，有必要考虑阻力系数随侵彻位移的变化。另由图7可见，随着长径比的增大，使用经典理论公式得到的结果与数值仿真结果的吻合度逐渐变好，由文献［8］可知，当r＞0.5时，可以不考虑阻力系数变化对破片入水速度的影响，即经典理论公式适用于描述长径比较大的圆柱形破片入水速度的衰减规律。

3 经验系数研究

3.1 初始速度的影响

图8和图9分别给出了不同长径比下，经验系数a和b随初始速度的变化。由图可见，当长径比相同时，经验系数a随初始速度的增加而增加；经验系数b随初始速度的增加而减小。b的变化规律说明，在侵彻过程中，破片阻力系数的衰减程度与其初始速度有关，初始速度越大，阻力系数衰减越明显。

3.2 长径比的影响

图10和图11给出了不同初始速度下，经验系数a和b随长径比的变化规律。由图可见，当初始速度相同时，经验系数a随长径比的增加而增加；经验系数b随长径比的增加而减小。b的变化规律说明，在侵彻过程中，破片阻力系数的衰减程度与其初始速度有关，初始速度越大，阻力系数衰减越明显。从图11还可以看出，当r=0.5时，不同初始速度下的经验系数b接近于0，可以把阻力系数看作常数，因此r=0.5可作为划分2种速度衰减模式的临界值。

图8 不同长径比下经验系数a随初始速度的变化关系Fig.8 The variation of a with initial velocity under different slenderness ratios

图9 不同长径比下经验系数b随初始速度的变化关系Fig.9 The variation of b with initial velocity under different slenderness ratios

图10 不同初始速度下经验系数a随长径比的变化关系Fig.10 The variation of a with slenderness ratio under different initial velocities

图11 不同初始速度下经验系数b随长径比的变化关系Fig.11 The variation of b with slenderness ratio under different initial velocities

3.3 a和b的取值

为能快速预测破片在水下侵彻过程中的速度，通过Matlab软件曲面拟合功能对经验系数a和b进行曲面拟合，得到经验系数a和b关于初始速度和长径比的计算公式，该公式适用于r=0.1～0.5，初始速度在1 200～2 400 m/s的饼形破片。图12和图13为经验系数a和b的拟合曲面，拟合得到的公式为：

图12 经验系数a的曲面拟合结果Fig.12 The surface fitting result of empirical coefficient a

图13 经验系数b的曲面拟合结果Fig.13 The surface fitting result of empirical coefficient b

式中，v0为破片初始速度。

4 结 论

采用理论推导方式和AUTODYN有限元软件，对破片入水速度的衰减规律进行了分析。以破片初始速度v0和长径比r为变量，引入经验系数a和b，分析a和b的变化规律。在液体介质密度和破片质量等参数不变的条件下，得到以下几点结论：

1）在r＜0.5的范围内，通过引入经验系数a和b，即考虑阻力系数随侵彻距离的变化，改进了破片入水的经典理论公式，通过理论公式和数值仿真得到的速度衰减曲线吻合较好。

2）当初始速度相同时，长径比越大，阻力系数受距离影响的程度越小；当长径比相同时，初始速度越大，阻力系数受距离影响的程度越小。

3）当r＞0.5时，阻力系数的改变量可以忽略不计，即阻力系数可以看作常数。