三角恒等变换中数学运算能力培养

朱庆华

【摘要】在高中数学的学习中，运算能力是极为重要的三大基本能力之一，主要是对数学概念与公式的灵活运用能力.在实际的高考试题中，对运算能力的考查是极为基础的一部分，融入每一道题目的考查中.因此，本文主要以三角恒等变换为例，对目前教育模型中数学运算能力培养存在的问题、在分析问题的基础上结合具体教学实例提出一些改进意见.

【关键词】三角函数;恒等变换;数学运算能力

高中阶段数学的学习压力极大，学生需要学习的内容多，且难度也较大，因此，教师在进行教学时，需要高度重视学生的基础能力培养，帮助学生更好地学习数学，在高考阶段取得更好的数学成绩，为此要格外重视学生的运算能力的培养，只有具备扎实的运算能力基础，才能较好地面对高考数学灵活的考查方式.下面主要以三角恒等变换为例对学生数学运算能力进行探讨思考.

一、三角恒等变换的特点

选择三角恒等变换作为学生运算能力培养的研究点，有两个主要原因：第一，三角恒等变换涉及的三角函数公式较多，其主要内容就是通过对基础三角函数的公式进行分析，学习各种公式之间转变的方法.在高考的考查中，对三角函数公式的内容极为重视，考查方法也灵活多变，是对学生运算能力考查的重点章节.第二、三角恒等变换的内容逻辑性较强，对这一类问题的研究分析有助于学生的逻辑思维成长，数学运算能力不是盲目运算，而是在严密的逻辑论证的基础上进行推理运算.因此，三角恒等变换知识是高中数学中展现数学运算能力的一部分，需要广大教师同仁重视其中对学生数学运算能力的培养意义.

二、对三角恒等变换培养学生数学运算能力的具体建议

高考试题中，三角函数的考查一般在第17题，当然在选择题与填空题中也一定会考查，17题的难度一般不大，只要学生熟悉三角函数考查的一般模式，可以避免失分.其中极为关键的一点就是利用三角恒等变换将题中较为复杂的三角函数关系式进行转化，变成y=Asin（ωx+φ）+k的形式，但是在實际高考中，往往会存在运算能力不足，导致丢分的情况，因此，笔者对这一部分内容的教学有以下几点意见.

（一）加强公式的理解与运用

对三角函数变换公式，教师在教学中，不能仅仅做简单介绍，要更加全面地为学生讲解其具体含义，增强学生对公式的理解与记忆.对三角恒等变换的推导过程可以简单总结如下：首先对较为简单的余弦两角和公式进行推导，之后在这一公式的基础上，利用诱导公式推导出正弦函数的两角和、差公式;之后在利用上述公式与同角三角函数关系式导出正切的三角恒等变化公式.而后对两角和公式等进行讲解说明.

（二）重视运算策略的讲解说明

运算能力的提高在高中阶段主要是为了更好解答高考问题，而在三角函数的高考考查中，一般会设置较为巧妙的解答方式，因此，教师要重视灵活运算策略的讲解.三角恒等变换涉及的考查方面多种多样，在三角函数求值、化简、证明以及几何问题的解答中都会用到三角恒等变换.学生在面对这一类问题时需要学会灵活运用运算策略，在加深三角变换公式理解运用的同时，发展逻辑思维能力，理解高中数学解题中存在的内在联系.

三、高考实例讲解

（一）函数名变换

在一些求值问题中，为了更好解答问题，需要减少或统一出现的三角函数式，这里需要进行函数名变换，是函数归一思想的体现.这对一些较难题目而言是打开思路的一个重要突破口，近年来对这一方面的考查不多，因此，简单介绍其中的解答思路.例如，2008年重庆高考试题，f（x）=sinx5+4cosx，求该三角函数关系式的值域.这其实是一道选择题，本文中以一个大题来进行讲解，这一题如果不将函数归一处理，解答逻辑就比较混乱，得出的答案可能不准确.要解答这一题，首先要认识到x是一个未知数，定义域范围是实数集，因此，可以将x认为是x2的两倍，在利用二倍角公式将原式化简，得到21-cos2x2cosx21+8cos2x2，这一式子乍一看可能更加复杂，但是实际上只涉及一个三角函数式，再对值域进行讨论就清晰许多.

（二）将数字代换为三角函数式

数学问题的考查要灵活运用一些潜在条件，例如，在三角函数中，对一些实数要充分认识到这些实数背后可能的三角函数意义，而在许多情况下需要将三角函数式中的具体数字改写为三角函数式，如1=sin2x+cos2x以及各种特殊角的三角函数值，这是对数学认识的更进一步，对数学运算能力的提高意义重大.例如，14年课标卷理科卷1中：已知a，b为两个锐角，且满足函数式tana=1+sinbcosb，求这两个角之间的关系.这里不仅仅需要将b变换为二倍角，还需要将1转化为一个三角函数式，最终得出tana=sin2b2+cos2b2+2sinb2cosb2cos2b2-sin2b2，最终得到tana=sinb2+cosb2cosb2-sinb2=tanb2+11-tanb2.按照正切两角和公式可以得到tana=tanb2+45°.

四、结 语

综上所述，三角恒等变换这一节的内容对学生数学运算能力的要求较高，在学生的实际反映中，出现了许多关于计算能力弱，运算简洁性不足，这在高考中会造成不必要的失分.因此，在进行高中数学的讲解时，要重视学生数学运算能力的培养，提高运算的效率与质量.

【参考文献】

[1]叶琪飞.注重解题技巧，优化恒等变换——高中数学三角恒等变换解题技巧概述[J].高中数学教与学，2017（2）：44-46.

[2]李莉.高中生三角恒等变换学习困难研究[D].漳州：闽南师范大学，2017.