核心素养下的教学探微
——从一题多解管窥初中数学教学

江苏省江阴市徐霞客中学(210000) 顾定伟

江苏省启东市南苑中学(210000) 李卫星

题目呈现直线与反比例函数分别交于两点AB，交坐标轴分别为DC，求证AD=BC.

图1

分析现状大部分学生看不懂此题目的题意，无从下手，得分基本为3 分.

教学准备

学法顺应天性，自然生成.

学生怎么想就怎么做，走一步算一步，摸着石头过河，充分激发自己的潜能.

教法宏观驾控，微观收口.

教师要有谋篇布局的意识，对教学更有一种意境和长远眼光，精心打磨每个细节，推敲每个环节.

教学策略

初始想法是思维的开端.

1 纯代数法

咬定青山不放松，自然过渡.

课堂传真

很多学生自然想到求出坐标证明如图所示只需证到x1=CF或DE=y2即可，列出方程化简得kx2+bx- m=0，解得那么CF=CO-OF.

图2

学生在此望而却步，不敢越雷池半步，此时应鼓励学生大胆想，老师可以说：“老师也是这么想的.”让其有认同感，并给足时间，让学生充分思考.“你肯定行! ”激励学生做下去.

这样学生有了信心，更有成就感.及时评价：“解法很烦，计算量较大，解出此题要有对求根公式，二次根式的化简已有相当的水平，你能在此简化一下，还有其他想法? ”引导学生继续思考.这样采取前否后肯的赞美方式，激励学生继续探究.

图3

要计算两根比较麻烦又有根发生关系联想到根与系数的关系，即kx2+bx-m=0，由根与系数关系得由图像得x2+得x1=x3.

学生可能字母设重复，犯形式主义错误，可能不会解，被形式所吓倒，不敢相信自己的想法，认为徒劳无获.此时应鼓励学生大胆地想，大胆设，大胆地解，大胆暴露，把冰冷的错误，变成火热的思考，让其开花结果，即使解错也无妨，鼓其志气，炼其意志，推进思维向纵深发展.这里需要呵护学生思维的嫩芽，无论其是主枝还是侧枝，都需要老师的滋养，尤其要关注差生.教师要注意因势利导，若不行，进行适当的板书，从而得解.

图4

图5

设计理念学生冥思苦想而不得其解，一经提示就恍然大悟，问题到底出在哪里?“不是做不到，而是想不到”的现象，正是数学素养低、数学能力差的表现.改变这种状态，要让学生不仅能做而且会想，唯一的办法是放手让学生自己先想、先做，老师在如何想、如何做上加强引导.这就需要限制课堂容量，放慢教学节奏，给学生“悟”的时间，给学生说出自己想法的机会.思维变换在于引导和捕捉生成资源.

2 解析法

无功而返，围魏救赵.

课堂传真

当发现解方程没有收获时，很多学生望而却步了，不敢解，于是学生变换角度，想到设点坐标.这里涉及到设什么，如何设置，多设还是少设，选择哪个函数，哪个更吻合学生想法，让学生经历这一冲突过程.设好以后，需要解决什么问题，如何体现坐标，把代数内容几何化，学生经过转化后，又发现图形具备特殊的什么图形，这里需要学生慢慢地体会，静静地尝试，慢慢地感悟，需要时间的打磨，需要蓄势.

从直观上看发现三个平行四边形，而证明平行四边形矛盾的交点就是CD//EF，而证明CD//EF可以想到证明斜率相等，顺应学生思维，不要封死.学生在设直线解析式再次遇到选择，容易出错，这需要把学生潜在错误危机暴露出来，展示曝光后辨析，以错纠错.同时学生面对含多字母的方程，心理上产生畏惧，又不知道如何解，如何消未知数，适当点拨，通过这一环节考验，对字母代表数，消元思想进一步加深.

设直线的解析式CD:y=px+q，相减得p=同理可设直线的解析式CD:y=px+q，相减得可证的直线平行从而得解.

这里需要空间，需要学生经历几次冲突，几次抉择，随思维变化，感悟数学思想的存在.此时忌讳上课的行云流水，快刀斩乱麻，会把学生稍纵即逝的思维之花扼杀在萌芽状态.学生思维经历挫折，思维更显成熟，更经得起考验.同时不同层级的学生，不同的思维方式会产生不同的辅助线方法，产生殊途同归的效果，同时相互比较，同步巩固提高.上述两种图形体现不同学生的不同习惯、不同基础、不同水平.

真正的学习必须经历“感知——感悟——知识”的过程.

设计理念能为学生着想的老师就是高素质的老师——什么叫“为学生着想”? 慢下来，给学生“悟”的时间和空间，“慢”就是快! 应加强动手、思考和感悟的实践，培养学生渴求知识的感觉.

思维提升在于思辨.

3 几何法

顺势而下，抛砖引玉.

课堂传真

发现证明相等就是证明平行，证明平行K相等这是唯一的路吗? 一石激起千层浪，让学生思考后讨论，反比例经常用的性质是什么? 学生经过思考发现只需证明面积相等，而选择好哪两个三角形，是比较难的，底是谁，第三个顶点是谁? 为什么选择这两个?

学生思考：上述提及的代数，那么必然有几何与之对应，所以同样作垂线，因为反比例函数的最大特征就是所构面积相等，所以将面积表示出来，显然S四边形EAHF=S四边形HGIB，发现就这样无法表示出DA=BC，所以得要将其转换或者找外援，图中有什么看上去相等的线段呢? 发现矩形FHGO很“可疑”，多多尝试，连接FG发现得出了两个图形像什么? 发现貌似是俩平行四边形，若是平行四边形则DA=FG=BC，由求证出发这肯定是平行四边形，可问题是如何证明.这又像以前做过的求证想象的平行一致，所以这肯定能解出，既然已经利用了面积，那么就咬定青山不放松再从面积转换，平行联想由什么证明，角显然不可能，面积和平行有何关系，面积是由底*高得的，当地相等时那么两直线便平行了，所以求证到了平行四边形，所以可看到黎明的曙光DA=BC.

凡事都有对立双方，所以反过来看也可以.当有了这基本的平行知识，发现易证EI平行DC也同样利用俩平行四边形，求证出边相等，最后全等.S△EAF=S△AEO=S△BFE=S△BFO=即证到平行.

图6

图7

刚才证明平行容易相等K相等，K相等是唯一的路吗?

从思维的封闭走到开放，解决思维定势.有效拓宽学生思维路径.这是一种捷径，对于大多数同学很难掌握，简单易懂，迅速秒杀题目，若不及时追问，会来的快，去的也快，对学生怎样理解他，需要让学生思考为什么这样想，想的必然性是什么? 为什么添垂线，为什么想到面积，顺其自然，突兀?又如何衔接? 同时对应不同的图形，让学生自己感悟不同图形带来的效果.哪一种更符合自己的习惯.逐步从程序解法到关系解法过渡.

设计理念教学中应多问“你是怎么想的? ”“你是怎么想到的? ”“还有别的想法吗? ”少问“是不是? ”“对不对? ”更不要“我已经给大家准备好了，下面开始算吧! ”通过技巧训练迅速提高分数，与通过思维训练全面提升能力，是两个完全不同的追求!

思维深化在于知识合成.

4 几何代数结合

顺藤摸瓜，柳暗花明.

课堂传真

你能从刚才图形还能发现什么基本的图形，你能写出来吗?

图8

图9

图10

解好后请思考一下问题，你是怎么想的，为什么这么想，这种解法的共性是什么，它需要我们掌握什么，继续延伸是什么? 还会怎么考察?

学生思考：用了面积，那么就有其他的方法，初中贯穿最大的几何法就是相似，发现图中有许许多多的三角形相似，“相似是个好东西! ”图中用相似也可以解决，但是这条还是那条，看得眼花，所以有代数形式简略化，用abcd等等的形式.再通过最基本的图形面积相等与多次相似求证出.

设计理念调动学生的所有感官参与学习，通过实际问题分析和实际操作获得感性材料，进行适当整理，归纳出数量关系和空间关系的特征，逐渐抽象成数模型，渗透建模思想，这对培养学生思维的灵活性与深刻性有极大的作用.

在同步练习中得到巩固，换汤不换药，思维同化.

题目解答完成，但并不表示真正的掌握，只是停留在形式上，学生并不完全理解，最简单最直接的做法是通过同步练习达到巩固的效果.

直线与反比例函数分别交于两点AB，交坐标轴分别为DC，求证AD=BC.

图11

图12

直线AD:y=-2x+n交反比例与AD两点，交坐标轴与BC两点，AC-CD=5，求直线解析式.

生成转移，发展思维.冲出重围，拓展延伸.

已 知：如 图13，⊙O是 等 腰Rt△ABC的外接圆，点D是弧AC上的一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=这AE的长是( )

A.3 B.2 C.1 D.1.2

图13

常见困惑

单用勾股定理，独木难支：

图14

图15

相似求解，一针见血：△DEA相似于△CEB，

教后反思：关注学生心理，注重思维发展

初一到初三学生处于青春期，他们的认知水平，思维方式和社会经验属于半成熟状态，不可避免成人感与半成熟之间的矛盾，成人感使得独立意识强烈，精神上要求摆脱成人，要求有独立的自主权决定权，事实上，面对许多复杂的问题和困惑时，他们需要得到成人的理解、支持和保护.同时青春期心里的闭锁性又把他们的内心世界封闭起来，不向成人袒露，认为成人不理解他们，对成人不信任.他们倍感孤独，希望与他人沟通，得到理解，这种开放胸怀的愿望促使他们很愿意与同龄人或自己可信赖的人吐露心声.同时青春期表现成人式的果敢和能干，获得成功就会享受超越一般的优越感与成就感，若遇到挫折则产生自暴自弃的挫折感.思维形式已摆脱具体内容的束缚，已经具备抽象逻辑推理能力，属于发展阶段.这些要求教师关注学生心理，注重思维发展.

教师的赞赏艺术

学生怎么想，就怎么引，启而不发，适当讲解，当学生想到有代数解方程的手段时，尽管繁做起来繁琐，但有想法总比没想法好，而且是学生最直接最直观的想法，要呵护学生的自尊心和成就感，当学生解得方程繁琐，给以理解，老师可以说：我也是这么想的，肯定他们的想法.应用好赞赏，充分调动期待效应，顺利得解，是不是解得烦了，有没有好的办法，反比例函数最容易想到什么? 我发现有一位同学是这样想的，发挥学生独立意识，让其展现解法，利用心理学的鲶鱼效应，产生竞争，激发学生继续想.当学生再次想不出，百思不得其解，让其相互交流，敞开心扉，互述困惑，心理得到补偿.当方法多时，学生部分不能理解，及时停住，以避免心理学超限反应的副作用.

教师的示弱艺术

很多教师居高临下，滔滔不绝，讲了诸多做法，但是收效甚微.教师讲的时候更应体现自己解题的笨拙之处，笨拙更符合学生的思路，让学生体会解题的艰辛，与学生感同身受，深挖学生思维障碍之处，从愚钝之处看出可取之处，不足之处，从人际沟通来讲，上行，下行，平行三种沟通，以学生的视角审视问题，老师也是这么想，学生也是这么想，得到共鸣，缩短思维差异，更利于教学.比如想到解方程，老师也害怕，解不出，想设未知数，不知道设什么好，想到面积不知道用哪个面积好? 发现动点还不知在哪里运动? 若老师讲解时故意或真的出现迟钝或不能解决的问题，及时抛给学生，此时学生会出现好奇激动，学生会争先恐后表现，符合心理盈亏理论.譬如分式方程，算术平方根，高等问题，极大地调动了学生参与的积极性.

教师的聆听艺术

当学生出现错误时，不要一棍子打死，要俯下身子去聆听，聆听是一种艺术，更是一种美德，更是一种水平，聆听要关注学生的的眼神，是信任还是疑惑? 洞察学生的肢体语言，是倾斜还是侧身，还是防伪，让学生把所思所想讲出来，及时示意.预设与生成两个孪生姐妹，好的预设才有精彩的生成，及时捕捉学生思维的火花，几何与代数方法顺序可以不讲，但可相通，互为支撑，注重思维形成的过程.考虑到学生思维的发展的不平衡性、阶段性、连续性和差异性，本题从代数解方程，进一步优化成根与系数解决问题，再从数变成形几何直观解决，再次形数结合解决问题，符合学生思维发展特点，兼顾不同层次的学生.方法不在多，在于学生接受.方法不多而在于方法体系的形成，通过让学生解题形成代数几何解析的解决问题的意识.逐步拓宽学生的思维，同时促使思维向纵深发展.

教师的评价艺术

分阶段让学生对题目进行评价，加强一般观念的指导作用.

对每产生一种解法或产生困惑让不同层次学生及时点评，本解法所用的知识点是什么? 怎么解，简略复述过程，你的困惑在哪里? 你把条件复述一下，为什么这样解? 你怎么想到的，你那个条件不能利用? 这个解法应用哪些知识，如何应用，还可以想到什么? 课堂让不同类型学生进行反思，进行比较，让学生自己感悟理解的不同程度，促进他们从程序解法，到关系型解法到应用性解法的慢慢提升.不同解法出现后，让学生对比解法之间的关系，进行系统反思，让学生同化顺应，促成方法体系的构建，提升思想性.通过具体事例，具体做法的归纳概括，让学生自主探究、交流，给学生表达的机会，从表达中把握学生的思维过程，捕捉生成性教学资源，并用“你是怎么想的? ”“你是怎么想到的? ”“能把你的想法说得更清楚一些吗? ”等促进思考，逐步培养学生用概念解释数学对象、通过归纳发现数学规律的能力与习惯，是促使学生深层次参与课堂教学的有力举措.要把实质性的归纳机会留给学生，例如具体实例共同特征的归纳就应该让学生完成．

数学是思维的科学，作为数学老师，就是让学生在获得数学结论、建立数学知识体系的过程中培养正确的思维方式.用智商备课，用情商上课，互为一体，相辅相成，作为一名初中数学教师，任重而道远.